Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 9522 / 7497
↖ ↑ ↗
← N 15.093340°
E 29.223633°		 ← 2 358.99 m → N 15.093340°
E 29.245606°		 →
↑
2 359.12 m
↓
↑
2 359.12 m
↓
N 15.072123°
E 29.223633°		 ← 2 359.23 m →
5 565 418 m²		 N 15.072123°
E 29.245606°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9522 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7497 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581207275390625 y=0.457611083984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581207275390625 × 214)
    floor (0.581207275390625 × 16384)
    floor (9522.5)     		tx = 9522
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.457611083984375 × 214)
    floor (0.457611083984375 × 16384)
    floor (7497.5)     		ty = 7497
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9522 / 7497 ti = "14/9522/7497"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9522/7497.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9522 ÷ 214
    9522 ÷ 16384     		x = 0.5811767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7497 ÷ 214
    7497 ÷ 16384     		y = 0.45758056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5811767578125 × 2 - 1) × π
    0.162353515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51004861
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45758056640625 × 2 - 1) × π
    0.0848388671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.266529161887512
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51004861} λ = 0.51004861}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.266529161887512))-π/2
    2×atan(1.30542565745645)-π/2
    2×0.91711239606837-π/2
    1.83422479213674-1.57079632675     		φ = 0.26342847
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51004861} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.223633°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26342847 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.093340°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9522 KachelY 7497 0.51004861 0.26342847 29.223633 15.093340
    Oben rechts KachelX + 1 9523 KachelY 7497 0.51043211 0.26342847 29.245606 15.093340
    Unten links KachelX 9522 KachelY + 1 7498 0.51004861 0.26305818 29.223633 15.072123
    Unten rechts KachelX + 1 9523 KachelY + 1 7498 0.51043211 0.26305818 29.245606 15.072123
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26342847-0.26305818) × R
    0.000370290000000051 × 6371000     		dl = 2359.11759000032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26342847-0.26305818) × R
    0.000370290000000051 × 6371000     		dr = 2359.11759000032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51004861-0.51043211) × cos(0.26342847) × R
    0.000383499999999981 × 0.965502907236698 × 6371000     		do = 2358.9924949388m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51004861-0.51043211) × cos(0.26305818) × R
    0.000383499999999981 × 0.96559926169715 × 6371000     		du = 2359.2279157204m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26342847)-sin(0.26305818))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.965502907236698-0.96559926169715)×R²
    abs(0.51043211-0.51004861)×9.63544604520861e-05×R²
    0.000383499999999981×9.63544604520861e-05×6371000²
    0.000383499999999981×9.63544604520861e-05×40589641000000     		ar = 5565418.44573346m²