Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9521 / 7730
↖ ↑ ↗
← N 10.098670°
E 29.201660°		 ← 2 405.36 m → N 10.098670°
E 29.223633°		 →
↑
2 405.43 m
↓
↑
2 405.43 m
↓
N 10.077037°
E 29.201660°		 ← 2 405.52 m →
5 786 137 m²		 N 10.077037°
E 29.223633°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9521 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7730 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581146240234375 y=0.471832275390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581146240234375 × 214)
    floor (0.581146240234375 × 16384)
    floor (9521.5)     		tx = 9521
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.471832275390625 × 214)
    floor (0.471832275390625 × 16384)
    floor (7730.5)     		ty = 7730
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9521 / 7730 ti = "14/9521/7730"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9521/7730.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9521 ÷ 214
    9521 ÷ 16384     		x = 0.58111572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7730 ÷ 214
    7730 ÷ 16384     		y = 0.4718017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58111572265625 × 2 - 1) × π
    0.1622314453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.50966512
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4718017578125 × 2 - 1) × π
    0.056396484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.177174780995728
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50966512} λ = 0.50966512}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.177174780995728))-π/2
    2×atan(1.19383973539095)-π/2
    2×0.873525685233607-π/2
    1.74705137046721-1.57079632675     		φ = 0.17625504
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50966512} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.201660°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.17625504 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.098670°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9521 KachelY 7730 0.50966512 0.17625504 29.201660 10.098670
    Oben rechts KachelX + 1 9522 KachelY 7730 0.51004861 0.17625504 29.223633 10.098670
    Unten links KachelX 9521 KachelY + 1 7731 0.50966512 0.17587748 29.201660 10.077037
    Unten rechts KachelX + 1 9522 KachelY + 1 7731 0.51004861 0.17587748 29.223633 10.077037
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.17625504-0.17587748) × R
    0.000377559999999999 × 6371000     		dl = 2405.43475999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.17625504-0.17587748) × R
    0.000377559999999999 × 6371000     		dr = 2405.43475999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50966512-0.51004861) × cos(0.17625504) × R
    0.000383490000000042 × 0.984507250751501 × 6371000     		do = 2405.36267589857m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50966512-0.51004861) × cos(0.17587748) × R
    0.000383490000000042 × 0.984573383410475 × 6371000     		du = 2405.52425218908m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.17625504)-sin(0.17587748))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984507250751501-0.984573383410475)×R²
    abs(0.51004861-0.50966512)×6.61326589733724e-05×R²
    0.000383490000000042×6.61326589733724e-05×6371000²
    0.000383490000000042×6.61326589733724e-05×40589641000000     		ar = 5786137.39036107m²