Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9520 / 5456
↖ ↑ ↗
← N 81.659685°
W127.705078°		 ← 88.60 m → N 81.659685°
W127.699585°		 →
↑
88.62 m
↓
↑
88.62 m
↓
N 81.658888°
W127.705078°		 ← 88.60 m →
7 852 m²		 N 81.658888°
W127.699585°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9520 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5456 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.145271301269531 y=0.0832595825195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.145271301269531 × 216)
    floor (0.145271301269531 × 65536)
    floor (9520.5)     		tx = 9520
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0832595825195312 × 216)
    floor (0.0832595825195312 × 65536)
    floor (5456.5)     		ty = 5456
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9520 / 5456 ti = "16/9520/5456"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9520/5456.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9520 ÷ 216
    9520 ÷ 65536     		x = 0.145263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5456 ÷ 216
    5456 ÷ 65536     		y = 0.083251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.145263671875 × 2 - 1) × π
    -0.70947265625 × 3.1415926535     		Λ = -2.22887408
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.083251953125 × 2 - 1) × π
    0.83349609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.61850520484595
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.22887408} λ = -2.22887408}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.61850520484595))-π/2
    2×atan(13.7152068300188)-π/2
    2×1.49801334938964-π/2
    2.99602669877929-1.57079632675     		φ = 1.42523037
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.22887408} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.705078°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42523037 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.659685°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9520 KachelY 5456 -2.22887408 1.42523037 -127.705078 81.659685
    Oben rechts KachelX + 1 9521 KachelY 5456 -2.22877821 1.42523037 -127.699585 81.659685
    Unten links KachelX 9520 KachelY + 1 5457 -2.22887408 1.42521646 -127.705078 81.658888
    Unten rechts KachelX + 1 9521 KachelY + 1 5457 -2.22877821 1.42521646 -127.699585 81.658888
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42523037-1.42521646) × R
    1.39100000000614e-05 × 6371000     		dl = 88.620610000391m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42523037-1.42521646) × R
    1.39100000000614e-05 × 6371000     		dr = 88.620610000391m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.22887408--2.22877821) × cos(1.42523037) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.145052424130675 × 6371000     		do = 88.5962466678669m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.22887408--2.22877821) × cos(1.42521646) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.145066187004077 × 6371000     		du = 88.6046528626211m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42523037)-sin(1.42521646))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145052424130675-0.145066187004077)×R²
    abs(-2.22877821--2.22887408)×1.37628734022954e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.37628734022954e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.37628734022954e-05×40589641000000     		ar = 7851.82590456274m²