Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 952 / 646
↖ ↑ ↗
← N 55.178868°
W 12.656250°		 ← 11.161 km → N 55.178868°
W 12.480469°		 →
↑
11.175 km
↓
↑
11.175 km
↓
N 55.078367°
W 12.656250°		 ← 11.189 km →
124.884 km²		 N 55.078367°
W 12.480469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 952 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 646 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465087890625 y=0.315673828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465087890625 × 211)
    floor (0.465087890625 × 2048)
    floor (952.5)     		tx = 952
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.315673828125 × 211)
    floor (0.315673828125 × 2048)
    floor (646.5)     		ty = 646
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 952 / 646 ti = "11/952/646"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/952/646.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 952 ÷ 211
    952 ÷ 2048     		x = 0.46484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 646 ÷ 211
    646 ÷ 2048     		y = 0.3154296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46484375 × 2 - 1) × π
    -0.0703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22089323
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3154296875 × 2 - 1) × π
    0.369140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.1596894756084
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22089323} λ = -0.22089323}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1596894756084))-π/2
    2×atan(3.18894287780574)-π/2
    2×1.26692462251123-π/2
    2.53384924502247-1.57079632675     		φ = 0.96305292
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22089323} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.656250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96305292 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.178868°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 952 KachelY 646 -0.22089323 0.96305292 -12.656250 55.178868
    Oben rechts KachelX + 1 953 KachelY 646 -0.21782527 0.96305292 -12.480469 55.178868
    Unten links KachelX 952 KachelY + 1 647 -0.22089323 0.96129885 -12.656250 55.078367
    Unten rechts KachelX + 1 953 KachelY + 1 647 -0.21782527 0.96129885 -12.480469 55.078367
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96305292-0.96129885) × R
    0.00175406999999994 × 6371000     		dl = 11175.1799699996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96305292-0.96129885) × R
    0.00175406999999994 × 6371000     		dr = 11175.1799699996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22089323--0.21782527) × cos(0.96305292) × R
    0.00306796000000001 × 0.57101639094169 × 6371000     		do = 11161.0710512664m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22089323--0.21782527) × cos(0.96129885) × R
    0.00306796000000001 × 0.572455495635847 × 6371000     		du = 11189.1997529928m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96305292)-sin(0.96129885))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.57101639094169-0.572455495635847)×R²
    abs(-0.21782527--0.22089323)×0.0014391046941572×R²
    0.00306796000000001×0.0014391046941572×6371000²
    0.00306796000000001×0.0014391046941572×40589641000000     		ar = 124884181.32782m²