Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9519 / 5457
↖ ↑ ↗
← N 81.658888°
W127.710571°		 ← 88.61 m → N 81.658888°
W127.705078°		 →
↑
88.56 m
↓
↑
88.56 m
↓
N 81.658092°
W127.710571°		 ← 88.62 m →
7 848 m²		 N 81.658092°
W127.705078°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9519 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5457 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.145256042480469 y=0.0832748413085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.145256042480469 × 216)
    floor (0.145256042480469 × 65536)
    floor (9519.5)     		tx = 9519
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0832748413085938 × 216)
    floor (0.0832748413085938 × 65536)
    floor (5457.5)     		ty = 5457
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9519 / 5457 ti = "16/9519/5457"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9519/5457.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9519 ÷ 216
    9519 ÷ 65536     		x = 0.145248413085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5457 ÷ 216
    5457 ÷ 65536     		y = 0.0832672119140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.145248413085938 × 2 - 1) × π
    -0.709503173828125 × 3.1415926535     		Λ = -2.22896996
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0832672119140625 × 2 - 1) × π
    0.833465576171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.61840933104671
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.22896996} λ = -2.22896996}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.61840933104671))-π/2
    2×atan(13.7138919640642)-π/2
    2×1.49800639569644-π/2
    2.99601279139287-1.57079632675     		φ = 1.42521646
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.22896996} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.710571°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42521646 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.658888°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9519 KachelY 5457 -2.22896996 1.42521646 -127.710571 81.658888
    Oben rechts KachelX + 1 9520 KachelY 5457 -2.22887408 1.42521646 -127.705078 81.658888
    Unten links KachelX 9519 KachelY + 1 5458 -2.22896996 1.42520256 -127.710571 81.658092
    Unten rechts KachelX + 1 9520 KachelY + 1 5458 -2.22887408 1.42520256 -127.705078 81.658092
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42521646-1.42520256) × R
    1.38999999999001e-05 × 6371000     		dl = 88.5568999993636m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42521646-1.42520256) × R
    1.38999999999001e-05 × 6371000     		dr = 88.5568999993636m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.22896996--2.22887408) × cos(1.42521646) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.145066187004077 × 6371000     		do = 88.613895029339m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.22896996--2.22887408) × cos(1.42520256) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.145079939955211 × 6371000     		du = 88.6222960398937m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42521646)-sin(1.42520256))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145066187004077-0.145079939955211)×R²
    abs(-2.22887408--2.22896996)×1.37529511342327e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.37529511342327e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.37529511342327e-05×40589641000000     		ar = 7847.74382459201m²