Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9518 / 7021
↖ ↑ ↗
← N 24.906367°
E 29.135742°		 ← 2 216.05 m → N 24.906367°
E 29.157715°		 →
↑
2 216.15 m
↓
↑
2 216.15 m
↓
N 24.886437°
E 29.135742°		 ← 2 216.40 m →
4 911 494 m²		 N 24.886437°
E 29.157715°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9518 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7021 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580963134765625 y=0.428558349609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580963134765625 × 214)
    floor (0.580963134765625 × 16384)
    floor (9518.5)     		tx = 9518
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428558349609375 × 214)
    floor (0.428558349609375 × 16384)
    floor (7021.5)     		ty = 7021
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9518 / 7021 ti = "14/9518/7021"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9518/7021.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9518 ÷ 214
    9518 ÷ 16384     		x = 0.5809326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7021 ÷ 214
    7021 ÷ 16384     		y = 0.42852783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5809326171875 × 2 - 1) × π
    0.161865234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.50851463
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42852783203125 × 2 - 1) × π
    0.1429443359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.449072875640686
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50851463} λ = 0.50851463}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.449072875640686))-π/2
    2×atan(1.56685883888062)-π/2
    2×1.0027472198978-π/2
    2.0054944397956-1.57079632675     		φ = 0.43469811
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50851463} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.135742°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43469811 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.906367°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9518 KachelY 7021 0.50851463 0.43469811 29.135742 24.906367
    Oben rechts KachelX + 1 9519 KachelY 7021 0.50889813 0.43469811 29.157715 24.906367
    Unten links KachelX 9518 KachelY + 1 7022 0.50851463 0.43435026 29.135742 24.886437
    Unten rechts KachelX + 1 9519 KachelY + 1 7022 0.50889813 0.43435026 29.157715 24.886437
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43469811-0.43435026) × R
    0.000347850000000038 × 6371000     		dl = 2216.15235000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43469811-0.43435026) × R
    0.000347850000000038 × 6371000     		dr = 2216.15235000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50851463-0.50889813) × cos(0.43469811) × R
    0.000383499999999981 × 0.906997220558506 × 6371000     		do = 2216.04680855025m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50851463-0.50889813) × cos(0.43435026) × R
    0.000383499999999981 × 0.907143658051196 × 6371000     		du = 2216.40459612773m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43469811)-sin(0.43435026))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.906997220558506-0.907143658051196)×R²
    abs(0.50889813-0.50851463)×0.000146437492689944×R²
    0.000383499999999981×0.000146437492689944×6371000²
    0.000383499999999981×0.000146437492689944×40589641000000     		ar = 4911493.84789372m²