Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 9517 / 5455
↖ ↑ ↗
← N 81.660482°
W127.721558°		 ← 88.60 m → N 81.660482°
W127.716064°		 →
↑
88.62 m
↓
↑
88.62 m
↓
N 81.659685°
W127.721558°		 ← 88.61 m →
7 852 m²		 N 81.659685°
W127.716064°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9517 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5455 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.145225524902344 y=0.0832443237304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.145225524902344 × 216)
    floor (0.145225524902344 × 65536)
    floor (9517.5)     		tx = 9517
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0832443237304688 × 216)
    floor (0.0832443237304688 × 65536)
    floor (5455.5)     		ty = 5455
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9517 / 5455 ti = "16/9517/5455"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9517/5455.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9517 ÷ 216
    9517 ÷ 65536     		x = 0.145217895507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5455 ÷ 216
    5455 ÷ 65536     		y = 0.0832366943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.145217895507812 × 2 - 1) × π
    -0.709564208984375 × 3.1415926535     		Λ = -2.22916171
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0832366943359375 × 2 - 1) × π
    0.833526611328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.61860107864519
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.22916171} λ = -2.22916171}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.61860107864519))-π/2
    2×atan(13.7165218220406)-π/2
    2×1.49802030242326-π/2
    2.99604060484652-1.57079632675     		φ = 1.42524428
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.22916171} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.721558°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42524428 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.660482°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9517 KachelY 5455 -2.22916171 1.42524428 -127.721558 81.660482
    Oben rechts KachelX + 1 9518 KachelY 5455 -2.22906583 1.42524428 -127.716064 81.660482
    Unten links KachelX 9517 KachelY + 1 5456 -2.22916171 1.42523037 -127.721558 81.659685
    Unten rechts KachelX + 1 9518 KachelY + 1 5456 -2.22906583 1.42523037 -127.716064 81.659685
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42524428-1.42523037) × R
    1.39100000000614e-05 × 6371000     		dl = 88.620610000391m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42524428-1.42523037) × R
    1.39100000000614e-05 × 6371000     		dr = 88.620610000391m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.22916171--2.22906583) × cos(1.42524428) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.145038661229206 × 6371000     		do = 88.5970808690212m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.22916171--2.22906583) × cos(1.42523037) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.145052424130675 × 6371000     		du = 88.6054879577521m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42524428)-sin(1.42523037))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145038661229206-0.145052424130675)×R²
    abs(-2.22906583--2.22916171)×1.37629014682339e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.37629014682339e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.37629014682339e-05×40589641000000     		ar = 7851.89987164042m²