Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9513 / 7718
↖ ↑ ↗
← N 10.358152°
E 29.025879°		 ← 2 403.40 m → N 10.358152°
E 29.047852°		 →
↑
2 403.52 m
↓
↑
2 403.52 m
↓
N 10.336536°
E 29.025879°		 ← 2 403.56 m →
5 776 822 m²		 N 10.336536°
E 29.047852°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9513 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7718 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580657958984375 y=0.471099853515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580657958984375 × 214)
    floor (0.580657958984375 × 16384)
    floor (9513.5)     		tx = 9513
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.471099853515625 × 214)
    floor (0.471099853515625 × 16384)
    floor (7718.5)     		ty = 7718
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9513 / 7718 ti = "14/9513/7718"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9513/7718.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9513 ÷ 214
    9513 ÷ 16384     		x = 0.58062744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7718 ÷ 214
    7718 ÷ 16384     		y = 0.4710693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58062744140625 × 2 - 1) × π
    0.1612548828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.50659716
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4710693359375 × 2 - 1) × π
    0.057861328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.181776723359253
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50659716} λ = 0.50659716}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.181776723359253))-π/2
    2×atan(1.1993463779521)-π/2
    2×0.875790086578158-π/2
    1.75158017315632-1.57079632675     		φ = 0.18078385
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50659716} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.025879°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.18078385 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.358152°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9513 KachelY 7718 0.50659716 0.18078385 29.025879 10.358152
    Oben rechts KachelX + 1 9514 KachelY 7718 0.50698065 0.18078385 29.047852 10.358152
    Unten links KachelX 9513 KachelY + 1 7719 0.50659716 0.18040659 29.025879 10.336536
    Unten rechts KachelX + 1 9514 KachelY + 1 7719 0.50698065 0.18040659 29.047852 10.336536
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.18078385-0.18040659) × R
    0.00037725999999999 × 6371000     		dl = 2403.52345999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.18078385-0.18040659) × R
    0.00037725999999999 × 6371000     		dr = 2403.52345999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50659716-0.50698065) × cos(0.18078385) × R
    0.000383490000000042 × 0.983703058224352 × 6371000     		do = 2403.39786082223m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50659716-0.50698065) × cos(0.18040659) × R
    0.000383490000000042 × 0.983770819833598 × 6371000     		du = 2403.56341698814m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.18078385)-sin(0.18040659))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983703058224352-0.983770819833598)×R²
    abs(0.50698065-0.50659716)×6.7761609246153e-05×R²
    0.000383490000000042×6.7761609246153e-05×6371000²
    0.000383490000000042×6.7761609246153e-05×40589641000000     		ar = 5776822.16977955m²