Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9512 / 7757
↖ ↑ ↗
← N  9.514079°
E 29.003906°		 ← 2 409.67 m → N  9.514079°
E 29.025879°		 →
↑
2 409.70 m
↓
↑
2 409.70 m
↓
N  9.492408°
E 29.003906°		 ← 2 409.82 m →
5 806 777 m²		 N  9.492408°
E 29.025879°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9512 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7757 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580596923828125 y=0.473480224609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580596923828125 × 214)
    floor (0.580596923828125 × 16384)
    floor (9512.5)     		tx = 9512
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.473480224609375 × 214)
    floor (0.473480224609375 × 16384)
    floor (7757.5)     		ty = 7757
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9512 / 7757 ti = "14/9512/7757"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9512/7757.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9512 ÷ 214
    9512 ÷ 16384     		x = 0.58056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7757 ÷ 214
    7757 ÷ 16384     		y = 0.47344970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58056640625 × 2 - 1) × π
    0.1611328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.50621366
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.47344970703125 × 2 - 1) × π
    0.0531005859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.166820410677795
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50621366} λ = 0.50621366}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.166820410677795))-π/2
    2×atan(1.18154205391686)-π/2
    2×0.868424167610631-π/2
    1.73684833522126-1.57079632675     		φ = 0.16605201
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50621366} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.003906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.16605201 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 9.514079°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9512 KachelY 7757 0.50621366 0.16605201 29.003906 9.514079
    Oben rechts KachelX + 1 9513 KachelY 7757 0.50659716 0.16605201 29.025879 9.514079
    Unten links KachelX 9512 KachelY + 1 7758 0.50621366 0.16567378 29.003906 9.492408
    Unten rechts KachelX + 1 9513 KachelY + 1 7758 0.50659716 0.16567378 29.025879 9.492408
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.16605201-0.16567378) × R
    0.000378230000000007 × 6371000     		dl = 2409.70333000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.16605201-0.16567378) × R
    0.000378230000000007 × 6371000     		dr = 2409.70333000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50621366-0.50659716) × cos(0.16605201) × R
    0.000383499999999981 × 0.986245014436599 × 6371000     		do = 2409.67123950501m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50621366-0.50659716) × cos(0.16567378) × R
    0.000383499999999981 × 0.986307461512305 × 6371000     		du = 2409.82381510247m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.16605201)-sin(0.16567378))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.986245014436599-0.986307461512305)×R²
    abs(0.50659716-0.50621366)×6.24470757062401e-05×R²
    0.000383499999999981×6.24470757062401e-05×6371000²
    0.000383499999999981×6.24470757062401e-05×40589641000000     		ar = 5806776.71022859m²