Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9512 / 7183
↖ ↑ ↗
← N 21.637005°
E 29.003906°		 ← 2 271.12 m → N 21.637005°
E 29.025879°		 →
↑
2 271.26 m
↓
↑
2 271.26 m
↓
N 21.616579°
E 29.003906°		 ← 2 271.44 m →
5 158 675 m²		 N 21.616579°
E 29.025879°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9512 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7183 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580596923828125 y=0.438446044921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580596923828125 × 214)
    floor (0.580596923828125 × 16384)
    floor (9512.5)     		tx = 9512
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438446044921875 × 214)
    floor (0.438446044921875 × 16384)
    floor (7183.5)     		ty = 7183
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9512 / 7183 ti = "14/9512/7183"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9512/7183.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9512 ÷ 214
    9512 ÷ 16384     		x = 0.58056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7183 ÷ 214
    7183 ÷ 16384     		y = 0.43841552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58056640625 × 2 - 1) × π
    0.1611328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.50621366
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43841552734375 × 2 - 1) × π
    0.1231689453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.386946653733093
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50621366} λ = 0.50621366}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.386946653733093))-π/2
    2×atan(1.4724779379768)-π/2
    2×0.974216653994796-π/2
    1.94843330798959-1.57079632675     		φ = 0.37763698
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50621366} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.003906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37763698 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.637005°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9512 KachelY 7183 0.50621366 0.37763698 29.003906 21.637005
    Oben rechts KachelX + 1 9513 KachelY 7183 0.50659716 0.37763698 29.025879 21.637005
    Unten links KachelX 9512 KachelY + 1 7184 0.50621366 0.37728048 29.003906 21.616579
    Unten rechts KachelX + 1 9513 KachelY + 1 7184 0.50659716 0.37728048 29.025879 21.616579
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37763698-0.37728048) × R
    0.000356500000000037 × 6371000     		dl = 2271.26150000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37763698-0.37728048) × R
    0.000356500000000037 × 6371000     		dr = 2271.26150000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50621366-0.50659716) × cos(0.37763698) × R
    0.000383499999999981 × 0.929538534481356 × 6371000     		do = 2271.12151621969m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50621366-0.50659716) × cos(0.37728048) × R
    0.000383499999999981 × 0.929669925866356 × 6371000     		du = 2271.44254196575m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37763698)-sin(0.37728048))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.929538534481356-0.929669925866356)×R²
    abs(0.50659716-0.50621366)×0.000131391384999735×R²
    0.000383499999999981×0.000131391384999735×6371000²
    0.000383499999999981×0.000131391384999735×40589641000000     		ar = 5158675.48295582m²