Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9511 / 7096
↖ ↑ ↗
← N 23.402765°
E 28.981933°		 ← 2 242.28 m → N 23.402765°
E 29.003906°		 →
↑
2 242.40 m
↓
↑
2 242.40 m
↓
N 23.382598°
E 28.981933°		 ← 2 242.62 m →
5 028 481 m²		 N 23.382598°
E 29.003906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9511 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7096 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580535888671875 y=0.433135986328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580535888671875 × 214)
    floor (0.580535888671875 × 16384)
    floor (9511.5)     		tx = 9511
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.433135986328125 × 214)
    floor (0.433135986328125 × 16384)
    floor (7096.5)     		ty = 7096
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9511 / 7096 ti = "14/9511/7096"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9511/7096.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9511 ÷ 214
    9511 ÷ 16384     		x = 0.58050537109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7096 ÷ 214
    7096 ÷ 16384     		y = 0.43310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58050537109375 × 2 - 1) × π
    0.1610107421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.50583016
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43310546875 × 2 - 1) × π
    0.1337890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.420310735868652
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50583016} λ = 0.50583016}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.420310735868652))-π/2
    2×atan(1.52243455715014)-π/2
    2×0.98962581422671-π/2
    1.97925162845342-1.57079632675     		φ = 0.40845530
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50583016} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.981933°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40845530 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.402765°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9511 KachelY 7096 0.50583016 0.40845530 28.981933 23.402765
    Oben rechts KachelX + 1 9512 KachelY 7096 0.50621366 0.40845530 29.003906 23.402765
    Unten links KachelX 9511 KachelY + 1 7097 0.50583016 0.40810333 28.981933 23.382598
    Unten rechts KachelX + 1 9512 KachelY + 1 7097 0.50621366 0.40810333 29.003906 23.382598
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40845530-0.40810333) × R
    0.000351970000000035 × 6371000     		dl = 2242.40087000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40845530-0.40810333) × R
    0.000351970000000035 × 6371000     		dr = 2242.40087000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50583016-0.50621366) × cos(0.40845530) × R
    0.000383499999999981 × 0.917735460230772 × 6371000     		do = 2242.28331866934m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50583016-0.50621366) × cos(0.40810333) × R
    0.000383499999999981 × 0.917875203112376 × 6371000     		du = 2242.62474944749m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40845530)-sin(0.40810333))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.917735460230772-0.917875203112376)×R²
    abs(0.50621366-0.50583016)×0.000139742881603677×R²
    0.000383499999999981×0.000139742881603677×6371000²
    0.000383499999999981×0.000139742881603677×40589641000000     		ar = 5028480.92882026m²