Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 9510 / 7758
↖ ↑ ↗
← N  9.492408°
E 28.959961°		 ← 2 409.76 m → N  9.492408°
E 28.981933°		 →
↑
2 409.89 m
↓
↑
2 409.89 m
↓
N  9.470736°
E 28.959961°		 ← 2 409.91 m →
5 807 453 m²		 N  9.470736°
E 28.981933°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9510 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7758 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580474853515625 y=0.473541259765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580474853515625 × 214)
    floor (0.580474853515625 × 16384)
    floor (9510.5)     		tx = 9510
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.473541259765625 × 214)
    floor (0.473541259765625 × 16384)
    floor (7758.5)     		ty = 7758
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9510 / 7758 ti = "14/9510/7758"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9510/7758.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9510 ÷ 214
    9510 ÷ 16384     		x = 0.5804443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7758 ÷ 214
    7758 ÷ 16384     		y = 0.4735107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5804443359375 × 2 - 1) × π
    0.160888671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.50544667
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4735107421875 × 2 - 1) × π
    0.052978515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.166436915480835
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50544667} λ = 0.50544667}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.166436915480835))-π/2
    2×atan(1.18108902508692)-π/2
    2×0.868235051508285-π/2
    1.73647010301657-1.57079632675     		φ = 0.16567378
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50544667} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.959961°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.16567378 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 9.492408°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9510 KachelY 7758 0.50544667 0.16567378 28.959961 9.492408
    Oben rechts KachelX + 1 9511 KachelY 7758 0.50583016 0.16567378 28.981933 9.492408
    Unten links KachelX 9510 KachelY + 1 7759 0.50544667 0.16529552 28.959961 9.470736
    Unten rechts KachelX + 1 9511 KachelY + 1 7759 0.50583016 0.16529552 28.981933 9.470736
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.16567378-0.16529552) × R
    0.000378259999999991 × 6371000     		dl = 2409.89445999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.16567378-0.16529552) × R
    0.000378259999999991 × 6371000     		dr = 2409.89445999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50544667-0.50583016) × cos(0.16567378) × R
    0.000383490000000042 × 0.986307461512305 × 6371000     		do = 2409.76097745448m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50544667-0.50583016) × cos(0.16529552) × R
    0.000383490000000042 × 0.986369772425222 × 6371000     		du = 2409.9132163985m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.16567378)-sin(0.16529552))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.986307461512305-0.986369772425222)×R²
    abs(0.50583016-0.50544667)×6.23109129167521e-05×R²
    0.000383490000000042×6.23109129167521e-05×6371000²
    0.000383490000000042×6.23109129167521e-05×40589641000000     		ar = 5807453.1386301m²