Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 951 / 753
↖ ↑ ↗
← N 74.378513°
W 96.416015°		 ← 2 631.68 m → N 74.378513°
W 96.328125°		 →
↑
2 633.64 m
↓
↑
2 633.64 m
↓
N 74.354828°
W 96.416015°		 ← 2 635.57 m →
6 936 031 m²		 N 74.354828°
W 96.328125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 951 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 753 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.2322998046875 y=0.1839599609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.2322998046875 × 212)
    floor (0.2322998046875 × 4096)
    floor (951.5)     		tx = 951
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1839599609375 × 212)
    floor (0.1839599609375 × 4096)
    floor (753.5)     		ty = 753
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 951 / 753 ti = "12/951/753"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/951/753.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 951 ÷ 212
    951 ÷ 4096     		x = 0.232177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 753 ÷ 212
    753 ÷ 4096     		y = 0.183837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.232177734375 × 2 - 1) × π
    -0.53564453125 × 3.1415926535     		Λ = -1.68277692
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.183837890625 × 2 - 1) × π
    0.63232421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.98650512025513
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.68277692} λ = -1.68277692}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.98650512025513))-π/2
    2×atan(7.29001147617898)-π/2
    2×1.43447313390616-π/2
    2.86894626781232-1.57079632675     		φ = 1.29814994
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.68277692} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -96.416015°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29814994 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.378513°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 951 KachelY 753 -1.68277692 1.29814994 -96.416015 74.378513
    Oben rechts KachelX + 1 952 KachelY 753 -1.68124294 1.29814994 -96.328125 74.378513
    Unten links KachelX 951 KachelY + 1 754 -1.68277692 1.29773656 -96.416015 74.354828
    Unten rechts KachelX + 1 952 KachelY + 1 754 -1.68124294 1.29773656 -96.328125 74.354828
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29814994-1.29773656) × R
    0.00041338000000013 × 6371000     		dl = 2633.64398000083m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29814994-1.29773656) × R
    0.00041338000000013 × 6371000     		dr = 2633.64398000083m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.68277692--1.68124294) × cos(1.29814994) × R
    0.00153398000000005 × 0.269281010277254 × 6371000     		do = 2631.67969968852m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.68277692--1.68124294) × cos(1.29773656) × R
    0.00153398000000005 × 0.269679097682116 × 6371000     		du = 2635.5702025539m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29814994)-sin(1.29773656))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.269281010277254-0.269679097682116)×R²
    abs(-1.68124294--1.68277692)×0.000398087404861636×R²
    0.00153398000000005×0.000398087404861636×6371000²
    0.00153398000000005×0.000398087404861636×40589641000000     		ar = 6936030.59687367m²