Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 951 / 507
↖ ↑ ↗
← N 66.861082°
W 12.832032°		 ← 7 680.85 m → N 66.861082°
W 12.656250°		 →
↑
7 691.71 m
↓
↑
7 691.71 m
↓
N 66.791909°
W 12.832032°		 ← 7 702.54 m →
59 162 266 m²		 N 66.791909°
W 12.656250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 951 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 507 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464599609375 y=0.247802734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464599609375 × 211)
    floor (0.464599609375 × 2048)
    floor (951.5)     		tx = 951
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.247802734375 × 211)
    floor (0.247802734375 × 2048)
    floor (507.5)     		ty = 507
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 951 / 507 ti = "11/951/507"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/951/507.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 951 ÷ 211
    951 ÷ 2048     		x = 0.46435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 507 ÷ 211
    507 ÷ 2048     		y = 0.24755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46435546875 × 2 - 1) × π
    -0.0712890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22396120
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.24755859375 × 2 - 1) × π
    0.5048828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.58613613462842
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22396120} λ = -0.22396120}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.58613613462842))-π/2
    2×atan(4.88483806070222)-π/2
    2×1.36887117719909-π/2
    2.73774235439819-1.57079632675     		φ = 1.16694603
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22396120} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.832032°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16694603 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.861082°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 951 KachelY 507 -0.22396120 1.16694603 -12.832032 66.861082
    Oben rechts KachelX + 1 952 KachelY 507 -0.22089323 1.16694603 -12.656250 66.861082
    Unten links KachelX 951 KachelY + 1 508 -0.22396120 1.16573873 -12.832032 66.791909
    Unten rechts KachelX + 1 952 KachelY + 1 508 -0.22089323 1.16573873 -12.656250 66.791909
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16694603-1.16573873) × R
    0.00120730000000013 × 6371000     		dl = 7691.70830000085m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16694603-1.16573873) × R
    0.00120730000000013 × 6371000     		dr = 7691.70830000085m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22396120--0.22089323) × cos(1.16694603) × R
    0.00306797 × 0.392961805221324 × 6371000     		do = 7680.84593335776m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22396120--0.22089323) × cos(1.16573873) × R
    0.00306797 × 0.394071697069453 × 6371000     		du = 7702.539920343m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16694603)-sin(1.16573873))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.392961805221324-0.394071697069453)×R²
    abs(-0.22089323--0.22396120)×0.00110989184812882×R²
    0.00306797×0.00110989184812882×6371000²
    0.00306797×0.00110989184812882×40589641000000     		ar = 59162265.5126175m²