Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 951 / 412
↖ ↑ ↗
← N 72.607120°
W 12.832032°		 ← 5 842.74 m → N 72.607120°
W 12.656250°		 →
↑
5 851.25 m
↓
↑
5 851.25 m
↓
N 72.554499°
W 12.832032°		 ← 5 859.87 m →
34 237 494 m²		 N 72.554499°
W 12.656250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 951 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 412 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464599609375 y=0.201416015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464599609375 × 211)
    floor (0.464599609375 × 2048)
    floor (951.5)     		tx = 951
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.201416015625 × 211)
    floor (0.201416015625 × 2048)
    floor (412.5)     		ty = 412
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 951 / 412 ti = "11/951/412"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/951/412.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 951 ÷ 211
    951 ÷ 2048     		x = 0.46435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 412 ÷ 211
    412 ÷ 2048     		y = 0.201171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46435546875 × 2 - 1) × π
    -0.0712890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22396120
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.201171875 × 2 - 1) × π
    0.59765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.87759248431836
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22396120} λ = -0.22396120}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.87759248431836))-π/2
    2×atan(6.53774617372214)-π/2
    2×1.4190148190778-π/2
    2.83802963815561-1.57079632675     		φ = 1.26723331
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22396120} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.832032°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26723331 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.607120°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 951 KachelY 412 -0.22396120 1.26723331 -12.832032 72.607120
    Oben rechts KachelX + 1 952 KachelY 412 -0.22089323 1.26723331 -12.656250 72.607120
    Unten links KachelX 951 KachelY + 1 413 -0.22396120 1.26631489 -12.832032 72.554499
    Unten rechts KachelX + 1 952 KachelY + 1 413 -0.22089323 1.26631489 -12.656250 72.554499
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26723331-1.26631489) × R
    0.000918419999999864 × 6371000     		dl = 5851.25381999914m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26723331-1.26631489) × R
    0.000918419999999864 × 6371000     		dr = 5851.25381999914m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22396120--0.22089323) × cos(1.26723331) × R
    0.00306797 × 0.298922203589153 × 6371000     		do = 5842.74441261523m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22396120--0.22089323) × cos(1.26631489) × R
    0.00306797 × 0.299798504922941 × 6371000     		du = 5859.87263079468m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26723331)-sin(1.26631489))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.298922203589153-0.299798504922941)×R²
    abs(-0.22089323--0.22396120)×0.000876301333788299×R²
    0.00306797×0.000876301333788299×6371000²
    0.00306797×0.000876301333788299×40589641000000     		ar = 34237493.746215m²