Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 9507 / 7725
↖ ↑ ↗
← N 10.206813°
E 28.894043°		 ← 2 404.61 m → N 10.206813°
E 28.916016°		 →
↑
2 404.61 m
↓
↑
2 404.61 m
↓
N 10.185188°
E 28.894043°		 ← 2 404.78 m →
5 782 343 m²		 N 10.185188°
E 28.916016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9507 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7725 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580291748046875 y=0.471527099609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580291748046875 × 214)
    floor (0.580291748046875 × 16384)
    floor (9507.5)     		tx = 9507
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.471527099609375 × 214)
    floor (0.471527099609375 × 16384)
    floor (7725.5)     		ty = 7725
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9507 / 7725 ti = "14/9507/7725"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9507/7725.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9507 ÷ 214
    9507 ÷ 16384     		x = 0.58026123046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7725 ÷ 214
    7725 ÷ 16384     		y = 0.47149658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58026123046875 × 2 - 1) × π
    0.1605224609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.50429618
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.47149658203125 × 2 - 1) × π
    0.0570068359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.17909225698053
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50429618} λ = 0.50429618}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.17909225698053))-π/2
    2×atan(1.19613109052042)-π/2
    2×0.874469410520157-π/2
    1.74893882104031-1.57079632675     		φ = 0.17814249
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50429618} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.894043°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.17814249 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.206813°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9507 KachelY 7725 0.50429618 0.17814249 28.894043 10.206813
    Oben rechts KachelX + 1 9508 KachelY 7725 0.50467968 0.17814249 28.916016 10.206813
    Unten links KachelX 9507 KachelY + 1 7726 0.50429618 0.17776506 28.894043 10.185188
    Unten rechts KachelX + 1 9508 KachelY + 1 7726 0.50467968 0.17776506 28.916016 10.185188
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.17814249-0.17776506) × R
    0.000377429999999984 × 6371000     		dl = 2404.6065299999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.17814249-0.17776506) × R
    0.000377429999999984 × 6371000     		dr = 2404.6065299999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50429618-0.50467968) × cos(0.17814249) × R
    0.000383499999999981 × 0.984174544521013 × 6371000     		do = 2404.61250487536m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50429618-0.50467968) × cos(0.17776506) × R
    0.000383499999999981 × 0.984241355682506 × 6371000     		du = 2404.7757431498m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.17814249)-sin(0.17776506))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984174544521013-0.984241355682506)×R²
    abs(0.50467968-0.50429618)×6.68111614930966e-05×R²
    0.000383499999999981×6.68111614930966e-05×6371000²
    0.000383499999999981×6.68111614930966e-05×40589641000000     		ar = 5782343.26189617m²