Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9506 / 7098
↖ ↑ ↗
← N 23.362429°
E 28.872070°		 ← 2 242.91 m → N 23.362429°
E 28.894043°		 →
↑
2 243.10 m
↓
↑
2 243.10 m
↓
N 23.342256°
E 28.872070°		 ← 2 243.25 m →
5 031 452 m²		 N 23.342256°
E 28.894043°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9506 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7098 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580230712890625 y=0.433258056640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580230712890625 × 214)
    floor (0.580230712890625 × 16384)
    floor (9506.5)     		tx = 9506
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.433258056640625 × 214)
    floor (0.433258056640625 × 16384)
    floor (7098.5)     		ty = 7098
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9506 / 7098 ti = "14/9506/7098"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9506/7098.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9506 ÷ 214
    9506 ÷ 16384     		x = 0.5802001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7098 ÷ 214
    7098 ÷ 16384     		y = 0.4332275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5802001953125 × 2 - 1) × π
    0.160400390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.50391269
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4332275390625 × 2 - 1) × π
    0.133544921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.419543745474731
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50391269} λ = 0.50391269}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.419543745474731))-π/2
    2×atan(1.5212673121595)-π/2
    2×0.98927381350047-π/2
    1.97854762700094-1.57079632675     		φ = 0.40775130
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50391269} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.872070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40775130 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.362429°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9506 KachelY 7098 0.50391269 0.40775130 28.872070 23.362429
    Oben rechts KachelX + 1 9507 KachelY 7098 0.50429618 0.40775130 28.894043 23.362429
    Unten links KachelX 9506 KachelY + 1 7099 0.50391269 0.40739922 28.872070 23.342256
    Unten rechts KachelX + 1 9507 KachelY + 1 7099 0.50429618 0.40739922 28.894043 23.342256
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40775130-0.40739922) × R
    0.000352079999999977 × 6371000     		dl = 2243.10167999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40775130-0.40739922) × R
    0.000352079999999977 × 6371000     		dr = 2243.10167999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50391269-0.50429618) × cos(0.40775130) × R
    0.000383489999999931 × 0.918014856077718 × 6371000     		do = 2242.9074738084m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50391269-0.50429618) × cos(0.40739922) × R
    0.000383489999999931 × 0.918154415089097 × 6371000     		du = 2243.24844644908m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40775130)-sin(0.40739922))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.918014856077718-0.918154415089097)×R²
    abs(0.50429618-0.50391269)×0.00013955901137952×R²
    0.000383489999999931×0.00013955901137952×6371000²
    0.000383489999999931×0.00013955901137952×40589641000000     		ar = 5031451.99271036m²