Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9505 / 6812
↖ ↑ ↗
← N 28.998532°
E 28.850097°		 ← 2 136.97 m → N 28.998532°
E 28.872070°		 →
↑
2 137.15 m
↓
↑
2 137.15 m
↓
N 28.979312°
E 28.850097°		 ← 2 137.37 m →
4 567 454 m²		 N 28.979312°
E 28.872070°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9505 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6812 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580169677734375 y=0.415802001953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580169677734375 × 214)
    floor (0.580169677734375 × 16384)
    floor (9505.5)     		tx = 9505
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.415802001953125 × 214)
    floor (0.415802001953125 × 16384)
    floor (6812.5)     		ty = 6812
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9505 / 6812 ti = "14/9505/6812"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9505/6812.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9505 ÷ 214
    9505 ÷ 16384     		x = 0.58013916015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6812 ÷ 214
    6812 ÷ 16384     		y = 0.415771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58013916015625 × 2 - 1) × π
    0.1602783203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.50352919
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.415771484375 × 2 - 1) × π
    0.16845703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.52922337180542
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50352919} λ = 0.50352919}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.52922337180542))-π/2
    2×atan(1.69761338211104)-π/2
    2×1.0384580925906-π/2
    2.07691618518119-1.57079632675     		φ = 0.50611986
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50352919} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.850097°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50611986 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.998532°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9505 KachelY 6812 0.50352919 0.50611986 28.850097 28.998532
    Oben rechts KachelX + 1 9506 KachelY 6812 0.50391269 0.50611986 28.872070 28.998532
    Unten links KachelX 9505 KachelY + 1 6813 0.50352919 0.50578441 28.850097 28.979312
    Unten rechts KachelX + 1 9506 KachelY + 1 6813 0.50391269 0.50578441 28.872070 28.979312
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50611986-0.50578441) × R
    0.000335450000000015 × 6371000     		dl = 2137.15195000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50611986-0.50578441) × R
    0.000335450000000015 × 6371000     		dr = 2137.15195000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50352919-0.50391269) × cos(0.50611986) × R
    0.000383500000000092 × 0.874632129167169 × 6371000     		do = 2136.96987660388m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50352919-0.50391269) × cos(0.50578441) × R
    0.000383500000000092 × 0.874794701823858 × 6371000     		du = 2137.36708688066m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50611986)-sin(0.50578441))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.874632129167169-0.874794701823858)×R²
    abs(0.50391269-0.50352919)×0.000162572656688842×R²
    0.000383500000000092×0.000162572656688842×6371000²
    0.000383500000000092×0.000162572656688842×40589641000000     		ar = 4567453.83106452m²