Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9501 / 6813
↖ ↑ ↗
← N 28.979312°
E 28.762207°		 ← 2 137.37 m → N 28.979312°
E 28.784180°		 →
↑
2 137.53 m
↓
↑
2 137.53 m
↓
N 28.960089°
E 28.762207°		 ← 2 137.76 m →
4 569 120 m²		 N 28.960089°
E 28.784180°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9501 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6813 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579925537109375 y=0.415863037109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579925537109375 × 214)
    floor (0.579925537109375 × 16384)
    floor (9501.5)     		tx = 9501
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.415863037109375 × 214)
    floor (0.415863037109375 × 16384)
    floor (6813.5)     		ty = 6813
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9501 / 6813 ti = "14/9501/6813"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9501/6813.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9501 ÷ 214
    9501 ÷ 16384     		x = 0.57989501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6813 ÷ 214
    6813 ÷ 16384     		y = 0.41583251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57989501953125 × 2 - 1) × π
    0.1597900390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.50199521
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41583251953125 × 2 - 1) × π
    0.1683349609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.528839876608459
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50199521} λ = 0.50199521}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.528839876608459))-π/2
    2×atan(1.69696248034953)-π/2
    2×1.03829036839265-π/2
    2.0765807367853-1.57079632675     		φ = 0.50578441
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50199521} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.762207°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50578441 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.979312°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9501 KachelY 6813 0.50199521 0.50578441 28.762207 28.979312
    Oben rechts KachelX + 1 9502 KachelY 6813 0.50237871 0.50578441 28.784180 28.979312
    Unten links KachelX 9501 KachelY + 1 6814 0.50199521 0.50544890 28.762207 28.960089
    Unten rechts KachelX + 1 9502 KachelY + 1 6814 0.50237871 0.50544890 28.784180 28.960089
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50578441-0.50544890) × R
    0.000335509999999983 × 6371000     		dl = 2137.53420999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50578441-0.50544890) × R
    0.000335509999999983 × 6371000     		dr = 2137.53420999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50199521-0.50237871) × cos(0.50578441) × R
    0.000383499999999981 × 0.874794701823858 × 6371000     		do = 2137.36708688004m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50199521-0.50237871) × cos(0.50544890) × R
    0.000383499999999981 × 0.874957205094802 × 6371000     		du = 2137.76412762811m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50578441)-sin(0.50544890))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.874794701823858-0.874957205094802)×R²
    abs(0.50237871-0.50199521)×0.000162503270943692×R²
    0.000383499999999981×0.000162503270943692×6371000²
    0.000383499999999981×0.000162503270943692×40589641000000     		ar = 4569119.65448509m²