Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9499 / 7735
↖ ↑ ↗
← N  9.990491°
E 28.718262°		 ← 2 406.23 m → N  9.990491°
E 28.740235°		 →
↑
2 406.26 m
↓
↑
2 406.26 m
↓
N  9.968851°
E 28.718262°		 ← 2 406.39 m →
5 790 215 m²		 N  9.968851°
E 28.740235°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9499 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7735 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579803466796875 y=0.472137451171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579803466796875 × 214)
    floor (0.579803466796875 × 16384)
    floor (9499.5)     		tx = 9499
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.472137451171875 × 214)
    floor (0.472137451171875 × 16384)
    floor (7735.5)     		ty = 7735
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9499 / 7735 ti = "14/9499/7735"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9499/7735.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9499 ÷ 214
    9499 ÷ 16384     		x = 0.57977294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7735 ÷ 214
    7735 ÷ 16384     		y = 0.47210693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57977294921875 × 2 - 1) × π
    0.1595458984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.50122822
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.47210693359375 × 2 - 1) × π
    0.0557861328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.175257305010925
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50122822} λ = 0.50122822}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.175257305010925))-π/2
    2×atan(1.19155276967027)-π/2
    2×0.872581642596876-π/2
    1.74516328519375-1.57079632675     		φ = 0.17436696
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50122822} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.718262°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.17436696 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 9.990491°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9499 KachelY 7735 0.50122822 0.17436696 28.718262 9.990491
    Oben rechts KachelX + 1 9500 KachelY 7735 0.50161172 0.17436696 28.740235 9.990491
    Unten links KachelX 9499 KachelY + 1 7736 0.50122822 0.17398927 28.718262 9.968851
    Unten rechts KachelX + 1 9500 KachelY + 1 7736 0.50161172 0.17398927 28.740235 9.968851
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.17436696-0.17398927) × R
    0.000377689999999986 × 6371000     		dl = 2406.26298999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.17436696-0.17398927) × R
    0.000377689999999986 × 6371000     		dr = 2406.26298999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50122822-0.50161172) × cos(0.17436696) × R
    0.000383499999999981 × 0.984836559003521 × 6371000     		do = 2406.22999062717m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50122822-0.50161172) × cos(0.17398927) × R
    0.000383499999999981 × 0.984902012206852 × 6371000     		du = 2406.38991103162m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.17436696)-sin(0.17398927))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984836559003521-0.984902012206852)×R²
    abs(0.50161172-0.50122822)×6.54532033309563e-05×R²
    0.000383499999999981×6.54532033309563e-05×6371000²
    0.000383499999999981×6.54532033309563e-05×40589641000000     		ar = 5790214.64598054m²