Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 9499 / 6811
↖ ↑ ↗
← N 29.017748°
E 28.718262°		 ← 2 136.57 m → N 29.017748°
E 28.740235°		 →
↑
2 136.71 m
↓
↑
2 136.71 m
↓
N 28.998532°
E 28.718262°		 ← 2 136.97 m →
4 565 652 m²		 N 28.998532°
E 28.740235°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9499 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6811 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579803466796875 y=0.415740966796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579803466796875 × 214)
    floor (0.579803466796875 × 16384)
    floor (9499.5)     		tx = 9499
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.415740966796875 × 214)
    floor (0.415740966796875 × 16384)
    floor (6811.5)     		ty = 6811
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9499 / 6811 ti = "14/9499/6811"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9499/6811.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9499 ÷ 214
    9499 ÷ 16384     		x = 0.57977294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6811 ÷ 214
    6811 ÷ 16384     		y = 0.41571044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57977294921875 × 2 - 1) × π
    0.1595458984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.50122822
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41571044921875 × 2 - 1) × π
    0.1685791015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.52960686700238
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50122822} λ = 0.50122822}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.52960686700238))-π/2
    2×atan(1.69826453353812)-π/2
    2×1.03862578560924-π/2
    2.07725157121848-1.57079632675     		φ = 0.50645524
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50122822} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.718262°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50645524 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.017748°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9499 KachelY 6811 0.50122822 0.50645524 28.718262 29.017748
    Oben rechts KachelX + 1 9500 KachelY 6811 0.50161172 0.50645524 28.740235 29.017748
    Unten links KachelX 9499 KachelY + 1 6812 0.50122822 0.50611986 28.718262 28.998532
    Unten rechts KachelX + 1 9500 KachelY + 1 6812 0.50161172 0.50611986 28.740235 28.998532
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50645524-0.50611986) × R
    0.000335379999999996 × 6371000     		dl = 2136.70597999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50645524-0.50611986) × R
    0.000335379999999996 × 6371000     		dr = 2136.70597999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50122822-0.50161172) × cos(0.50645524) × R
    0.000383499999999981 × 0.87446949204665 × 6371000     		do = 2136.5725088234m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50122822-0.50161172) × cos(0.50611986) × R
    0.000383499999999981 × 0.874632129167169 × 6371000     		du = 2136.96987660326m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50645524)-sin(0.50611986))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.87446949204665-0.874632129167169)×R²
    abs(0.50161172-0.50122822)×0.000162637120519116×R²
    0.000383499999999981×0.000162637120519116×6371000²
    0.000383499999999981×0.000162637120519116×40589641000000     		ar = 4565651.82815786m²