Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9497 / 7621
↖ ↑ ↗
← N 12.447305°
E 28.674316°		 ← 2 385.85 m → N 12.447305°
E 28.696289°		 →
↑
2 385.88 m
↓
↑
2 385.88 m
↓
N 12.425848°
E 28.674316°		 ← 2 386.05 m →
5 692 573 m²		 N 12.425848°
E 28.696289°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9497 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7621 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579681396484375 y=0.465179443359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579681396484375 × 214)
    floor (0.579681396484375 × 16384)
    floor (9497.5)     		tx = 9497
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.465179443359375 × 214)
    floor (0.465179443359375 × 16384)
    floor (7621.5)     		ty = 7621
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9497 / 7621 ti = "14/9497/7621"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9497/7621.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9497 ÷ 214
    9497 ÷ 16384     		x = 0.57965087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7621 ÷ 214
    7621 ÷ 16384     		y = 0.46514892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57965087890625 × 2 - 1) × π
    0.1593017578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.50046123
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46514892578125 × 2 - 1) × π
    0.0697021484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.218975757464416
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50046123} λ = 0.50046123}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.218975757464416))-π/2
    2×atan(1.2448010991868)-π/2
    2×0.894021389716492-π/2
    1.78804277943298-1.57079632675     		φ = 0.21724645
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50046123} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.674316°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.21724645 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.447305°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9497 KachelY 7621 0.50046123 0.21724645 28.674316 12.447305
    Oben rechts KachelX + 1 9498 KachelY 7621 0.50084473 0.21724645 28.696289 12.447305
    Unten links KachelX 9497 KachelY + 1 7622 0.50046123 0.21687196 28.674316 12.425848
    Unten rechts KachelX + 1 9498 KachelY + 1 7622 0.50084473 0.21687196 28.696289 12.425848
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.21724645-0.21687196) × R
    0.000374490000000005 × 6371000     		dl = 2385.87579000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.21724645-0.21687196) × R
    0.000374490000000005 × 6371000     		dr = 2385.87579000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50046123-0.50084473) × cos(0.21724645) × R
    0.000383499999999981 × 0.97649465510665 × 6371000     		do = 2385.84839618688m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50046123-0.50084473) × cos(0.21687196) × R
    0.000383499999999981 × 0.976575304811666 × 6371000     		du = 2386.04544587717m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.21724645)-sin(0.21687196))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.97649465510665-0.976575304811666)×R²
    abs(0.50084473-0.50046123)×8.06497050153121e-05×R²
    0.000383499999999981×8.06497050153121e-05×6371000²
    0.000383499999999981×8.06497050153121e-05×40589641000000     		ar = 5692573.06164418m²