Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9496 / 6798
↖ ↑ ↗
← N 29.267233°
E 28.652344°		 ← 2 131.34 m → N 29.267233°
E 28.674316°		 →
↑
2 131.61 m
↓
↑
2 131.61 m
↓
N 29.248063°
E 28.652344°		 ← 2 131.74 m →
4 543 601 m²		 N 29.248063°
E 28.674316°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9496 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6798 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579620361328125 y=0.414947509765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579620361328125 × 214)
    floor (0.579620361328125 × 16384)
    floor (9496.5)     		tx = 9496
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.414947509765625 × 214)
    floor (0.414947509765625 × 16384)
    floor (6798.5)     		ty = 6798
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9496 / 6798 ti = "14/9496/6798"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9496/6798.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9496 ÷ 214
    9496 ÷ 16384     		x = 0.57958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6798 ÷ 214
    6798 ÷ 16384     		y = 0.4149169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57958984375 × 2 - 1) × π
    0.1591796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.50007774
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4149169921875 × 2 - 1) × π
    0.170166015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.534592304562866
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50007774} λ = 0.50007774}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.534592304562866))-π/2
    2×atan(1.70675226527966)-π/2
    2×1.04080295161361-π/2
    2.08160590322722-1.57079632675     		φ = 0.51080958
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50007774} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.652344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.51080958 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.267233°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9496 KachelY 6798 0.50007774 0.51080958 28.652344 29.267233
    Oben rechts KachelX + 1 9497 KachelY 6798 0.50046123 0.51080958 28.674316 29.267233
    Unten links KachelX 9496 KachelY + 1 6799 0.50007774 0.51047500 28.652344 29.248063
    Unten rechts KachelX + 1 9497 KachelY + 1 6799 0.50046123 0.51047500 28.674316 29.248063
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.51080958-0.51047500) × R
    0.000334579999999973 × 6371000     		dl = 2131.60917999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.51080958-0.51047500) × R
    0.000334579999999973 × 6371000     		dr = 2131.60917999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50007774-0.50046123) × cos(0.51080958) × R
    0.000383489999999931 × 0.872349003146403 × 6371000     		do = 2131.33598652866m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50007774-0.50046123) × cos(0.51047500) × R
    0.000383489999999931 × 0.872512525005714 × 6371000     		du = 2131.73550555382m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.51080958)-sin(0.51047500))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.872349003146403-0.872512525005714)×R²
    abs(0.50046123-0.50007774)×0.000163521859311011×R²
    0.000383489999999931×0.000163521859311011×6371000²
    0.000383489999999931×0.000163521859311011×40589641000000     		ar = 4543601.20614425m²