Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9495 / 7732
↖ ↑ ↗
← N 10.055403°
E 28.630371°		 ← 2 405.75 m → N 10.055403°
E 28.652344°		 →
↑
2 405.82 m
↓
↑
2 405.82 m
↓
N 10.033767°
E 28.630371°		 ← 2 405.91 m →
5 787 984 m²		 N 10.033767°
E 28.652344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9495 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7732 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579559326171875 y=0.471954345703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579559326171875 × 214)
    floor (0.579559326171875 × 16384)
    floor (9495.5)     		tx = 9495
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.471954345703125 × 214)
    floor (0.471954345703125 × 16384)
    floor (7732.5)     		ty = 7732
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9495 / 7732 ti = "14/9495/7732"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9495/7732.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9495 ÷ 214
    9495 ÷ 16384     		x = 0.57952880859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7732 ÷ 214
    7732 ÷ 16384     		y = 0.471923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57952880859375 × 2 - 1) × π
    0.1590576171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.49969424
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.471923828125 × 2 - 1) × π
    0.05615234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.176407790601807
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49969424} λ = 0.49969424}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.176407790601807))-π/2
    2×atan(1.19292442284486)-π/2
    2×0.873148106078513-π/2
    1.74629621215703-1.57079632675     		φ = 0.17549989
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49969424} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.630371°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.17549989 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.055403°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9495 KachelY 7732 0.49969424 0.17549989 28.630371 10.055403
    Oben rechts KachelX + 1 9496 KachelY 7732 0.50007774 0.17549989 28.652344 10.055403
    Unten links KachelX 9495 KachelY + 1 7733 0.49969424 0.17512227 28.630371 10.033767
    Unten rechts KachelX + 1 9496 KachelY + 1 7733 0.50007774 0.17512227 28.652344 10.033767
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.17549989-0.17512227) × R
    0.000377619999999995 × 6371000     		dl = 2405.81701999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.17549989-0.17512227) × R
    0.000377619999999995 × 6371000     		dr = 2405.81701999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49969424-0.50007774) × cos(0.17549989) × R
    0.000383500000000037 × 0.984639380954996 × 6371000     		do = 2405.74822974088m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49969424-0.50007774) × cos(0.17512227) × R
    0.000383500000000037 × 0.984705243342195 × 6371000     		du = 2405.90914989548m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.17549989)-sin(0.17512227))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984639380954996-0.984705243342195)×R²
    abs(0.50007774-0.49969424)×6.58623871993003e-05×R²
    0.000383500000000037×6.58623871993003e-05×6371000²
    0.000383500000000037×6.58623871993003e-05×40589641000000     		ar = 5787983.67794788m²