Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 9494 / 6804
↖ ↑ ↗
← N 29.152161°
E 28.608399°		 ← 2 133.73 m → N 29.152161°
E 28.630371°		 →
↑
2 133.97 m
↓
↑
2 133.97 m
↓
N 29.132970°
E 28.608399°		 ← 2 134.13 m →
4 553 735 m²		 N 29.132970°
E 28.630371°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9494 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6804 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579498291015625 y=0.415313720703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579498291015625 × 214)
    floor (0.579498291015625 × 16384)
    floor (9494.5)     		tx = 9494
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.415313720703125 × 214)
    floor (0.415313720703125 × 16384)
    floor (6804.5)     		ty = 6804
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9494 / 6804 ti = "14/9494/6804"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9494/6804.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9494 ÷ 214
    9494 ÷ 16384     		x = 0.5794677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6804 ÷ 214
    6804 ÷ 16384     		y = 0.415283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5794677734375 × 2 - 1) × π
    0.158935546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.49931075
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.415283203125 × 2 - 1) × π
    0.16943359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.532291333381104
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49931075} λ = 0.49931075}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.532291333381104))-π/2
    2×atan(1.70282959221239)-π/2
    2×1.03979876262397-π/2
    2.07959752524794-1.57079632675     		φ = 0.50880120
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49931075} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.608399°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50880120 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.152161°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9494 KachelY 6804 0.49931075 0.50880120 28.608399 29.152161
    Oben rechts KachelX + 1 9495 KachelY 6804 0.49969424 0.50880120 28.630371 29.152161
    Unten links KachelX 9494 KachelY + 1 6805 0.49931075 0.50846625 28.608399 29.132970
    Unten rechts KachelX + 1 9495 KachelY + 1 6805 0.49969424 0.50846625 28.630371 29.132970
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50880120-0.50846625) × R
    0.000334949999999945 × 6371000     		dl = 2133.96644999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50880120-0.50846625) × R
    0.000334949999999945 × 6371000     		dr = 2133.96644999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49931075-0.49969424) × cos(0.50880120) × R
    0.000383489999999986 × 0.873329107269294 × 6371000     		do = 2133.73059141776m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49931075-0.49969424) × cos(0.50846625) × R
    0.000383489999999986 × 0.873492222687487 × 6371000     		du = 2134.12911741997m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50880120)-sin(0.50846625))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.873329107269294-0.873492222687487)×R²
    abs(0.49969424-0.49931075)×0.000163115418192583×R²
    0.000383489999999986×0.000163115418192583×6371000²
    0.000383489999999986×0.000163115418192583×40589641000000     		ar = 4553734.7585569m²