Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9493 / 6796
↖ ↑ ↗
← N 29.305561°
E 28.586426°		 ← 2 130.59 m → N 29.305561°
E 28.608399°		 →
↑
2 130.72 m
↓
↑
2 130.72 m
↓
N 29.286399°
E 28.586426°		 ← 2 130.99 m →
4 540 115 m²		 N 29.286399°
E 28.608399°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9493 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6796 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579437255859375 y=0.414825439453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579437255859375 × 214)
    floor (0.579437255859375 × 16384)
    floor (9493.5)     		tx = 9493
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.414825439453125 × 214)
    floor (0.414825439453125 × 16384)
    floor (6796.5)     		ty = 6796
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9493 / 6796 ti = "14/9493/6796"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9493/6796.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9493 ÷ 214
    9493 ÷ 16384     		x = 0.57940673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6796 ÷ 214
    6796 ÷ 16384     		y = 0.414794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57940673828125 × 2 - 1) × π
    0.1588134765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.49892725
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.414794921875 × 2 - 1) × π
    0.17041015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.535359294956787
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49892725} λ = 0.49892725}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.535359294956787))-π/2
    2×atan(1.70806183001952)-π/2
    2×1.04113743052856-π/2
    2.08227486105713-1.57079632675     		φ = 0.51147853
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49892725} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.586426°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.51147853 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.305561°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9493 KachelY 6796 0.49892725 0.51147853 28.586426 29.305561
    Oben rechts KachelX + 1 9494 KachelY 6796 0.49931075 0.51147853 28.608399 29.305561
    Unten links KachelX 9493 KachelY + 1 6797 0.49892725 0.51114409 28.586426 29.286399
    Unten rechts KachelX + 1 9494 KachelY + 1 6797 0.49931075 0.51114409 28.608399 29.286399
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.51147853-0.51114409) × R
    0.000334439999999936 × 6371000     		dl = 2130.71723999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.51147853-0.51114409) × R
    0.000334439999999936 × 6371000     		dr = 2130.71723999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49892725-0.49931075) × cos(0.51147853) × R
    0.000383500000000037 × 0.872021769272083 × 6371000     		do = 2130.59204039464m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49892725-0.49931075) × cos(0.51114409) × R
    0.000383500000000037 × 0.872185417875333 × 6371000     		du = 2130.99187950852m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.51147853)-sin(0.51114409))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.872021769272083-0.872185417875333)×R²
    abs(0.49931075-0.49892725)×0.000163648603249911×R²
    0.000383500000000037×0.000163648603249911×6371000²
    0.000383500000000037×0.000163648603249911×40589641000000     		ar = 4540115.20623919m²