Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 9492 / 7623
↖ ↑ ↗
← N 12.404389°
E 28.564453°		 ← 2 386.18 m → N 12.404389°
E 28.586426°		 →
↑
2 386.32 m
↓
↑
2 386.32 m
↓
N 12.382928°
E 28.564453°		 ← 2 386.38 m →
5 694 428 m²		 N 12.382928°
E 28.586426°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9492 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7623 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579376220703125 y=0.465301513671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579376220703125 × 214)
    floor (0.579376220703125 × 16384)
    floor (9492.5)     		tx = 9492
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.465301513671875 × 214)
    floor (0.465301513671875 × 16384)
    floor (7623.5)     		ty = 7623
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9492 / 7623 ti = "14/9492/7623"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9492/7623.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9492 ÷ 214
    9492 ÷ 16384     		x = 0.579345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7623 ÷ 214
    7623 ÷ 16384     		y = 0.46527099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.579345703125 × 2 - 1) × π
    0.15869140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.49854376
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46527099609375 × 2 - 1) × π
    0.0694580078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.218208767070496
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49854376} λ = 0.49854376}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.218208767070496))-π/2
    2×atan(1.24384671475002)-π/2
    2×0.893646877785639-π/2
    1.78729375557128-1.57079632675     		φ = 0.21649743
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49854376} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.564453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.21649743 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.404389°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9492 KachelY 7623 0.49854376 0.21649743 28.564453 12.404389
    Oben rechts KachelX + 1 9493 KachelY 7623 0.49892725 0.21649743 28.586426 12.404389
    Unten links KachelX 9492 KachelY + 1 7624 0.49854376 0.21612287 28.564453 12.382928
    Unten rechts KachelX + 1 9493 KachelY + 1 7624 0.49892725 0.21612287 28.586426 12.382928
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.21649743-0.21612287) × R
    0.000374559999999996 × 6371000     		dl = 2386.32175999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.21649743-0.21612287) × R
    0.000374559999999996 × 6371000     		dr = 2386.32175999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49854376-0.49892725) × cos(0.21649743) × R
    0.000383489999999986 × 0.976655826151473 × 6371000     		do = 2386.17995919286m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49854376-0.49892725) × cos(0.21612287) × R
    0.000383489999999986 × 0.976736216926441 × 6371000     		du = 2386.37637112325m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.21649743)-sin(0.21612287))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.976655826151473-0.976736216926441)×R²
    abs(0.49892725-0.49854376)×8.0390774968464e-05×R²
    0.000383489999999986×8.0390774968464e-05×6371000²
    0.000383489999999986×8.0390774968464e-05×40589641000000     		ar = 5694427.5775044m²