Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 949 / 413
↖ ↑ ↗
← N 72.554499°
W 13.183594°		 ← 5 859.85 m → N 72.554499°
W 13.007813°		 →
↑
5 868.46 m
↓
↑
5 868.46 m
↓
N 72.501722°
W 13.183594°		 ← 5 877.03 m →
34 438 683 m²		 N 72.501722°
W 13.007813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 949 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 413 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463623046875 y=0.201904296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463623046875 × 211)
    floor (0.463623046875 × 2048)
    floor (949.5)     		tx = 949
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.201904296875 × 211)
    floor (0.201904296875 × 2048)
    floor (413.5)     		ty = 413
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 949 / 413 ti = "11/949/413"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/949/413.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 949 ÷ 211
    949 ÷ 2048     		x = 0.46337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 413 ÷ 211
    413 ÷ 2048     		y = 0.20166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46337890625 × 2 - 1) × π
    -0.0732421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23009712
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20166015625 × 2 - 1) × π
    0.5966796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.87452452274268
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23009712} λ = -0.23009712}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.87452452274268))-π/2
    2×atan(6.51771935613136)-π/2
    2×1.41855560633935-π/2
    2.8371112126787-1.57079632675     		φ = 1.26631489
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23009712} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.183594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26631489 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.554499°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 949 KachelY 413 -0.23009712 1.26631489 -13.183594 72.554499
    Oben rechts KachelX + 1 950 KachelY 413 -0.22702916 1.26631489 -13.007813 72.554499
    Unten links KachelX 949 KachelY + 1 414 -0.23009712 1.26539377 -13.183594 72.501722
    Unten rechts KachelX + 1 950 KachelY + 1 414 -0.22702916 1.26539377 -13.007813 72.501722
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26631489-1.26539377) × R
    0.000921120000000109 × 6371000     		dl = 5868.45552000069m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26631489-1.26539377) × R
    0.000921120000000109 × 6371000     		dr = 5868.45552000069m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23009712--0.22702916) × cos(1.26631489) × R
    0.00306795999999998 × 0.299798504922941 × 6371000     		do = 5859.85353063189m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23009712--0.22702916) × cos(1.26539377) × R
    0.00306795999999998 × 0.300677128439388 × 6371000     		du = 5877.02708230211m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26631489)-sin(1.26539377))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.299798504922941-0.300677128439388)×R²
    abs(-0.22702916--0.23009712)×0.000878623516447075×R²
    0.00306795999999998×0.000878623516447075×6371000²
    0.00306795999999998×0.000878623516447075×40589641000000     		ar = 34438683.3452818m²