Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 949 / 410
↖ ↑ ↗
← N 72.711903°
W 13.183594°		 ← 5 808.60 m → N 72.711903°
W 13.007813°		 →
↑
5 817.11 m
↓
↑
5 817.11 m
↓
N 72.659588°
W 13.183594°		 ← 5 825.64 m →
33 838 821 m²		 N 72.659588°
W 13.007813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 949 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 410 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463623046875 y=0.200439453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463623046875 × 211)
    floor (0.463623046875 × 2048)
    floor (949.5)     		tx = 949
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.200439453125 × 211)
    floor (0.200439453125 × 2048)
    floor (410.5)     		ty = 410
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 949 / 410 ti = "11/949/410"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/949/410.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 949 ÷ 211
    949 ÷ 2048     		x = 0.46337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 410 ÷ 211
    410 ÷ 2048     		y = 0.2001953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46337890625 × 2 - 1) × π
    -0.0732421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23009712
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2001953125 × 2 - 1) × π
    0.599609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.88372840746973
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23009712} λ = -0.23009712}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.88372840746973))-π/2
    2×atan(6.57798460554344)-π/2
    2×1.41992922070262-π/2
    2.83985844140523-1.57079632675     		φ = 1.26906211
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23009712} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.183594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26906211 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.711903°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 949 KachelY 410 -0.23009712 1.26906211 -13.183594 72.711903
    Oben rechts KachelX + 1 950 KachelY 410 -0.22702916 1.26906211 -13.007813 72.711903
    Unten links KachelX 949 KachelY + 1 411 -0.23009712 1.26814905 -13.183594 72.659588
    Unten rechts KachelX + 1 950 KachelY + 1 411 -0.22702916 1.26814905 -13.007813 72.659588
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26906211-1.26814905) × R
    0.000913059999999799 × 6371000     		dl = 5817.10525999872m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26906211-1.26814905) × R
    0.000913059999999799 × 6371000     		dr = 5817.10525999872m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23009712--0.22702916) × cos(1.26906211) × R
    0.00306795999999998 × 0.29717652202554 × 6371000     		do = 5808.60432329332m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23009712--0.22702916) × cos(1.26814905) × R
    0.00306795999999998 × 0.298048208313173 × 6371000     		du = 5825.64228007534m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26906211)-sin(1.26814905))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.29717652202554-0.298048208313173)×R²
    abs(-0.22702916--0.23009712)×0.0008716862876334×R²
    0.00306795999999998×0.0008716862876334×6371000²
    0.00306795999999998×0.0008716862876334×40589641000000     		ar = 33838820.9071831m²