Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9487 / 5394
↖ ↑ ↗
← N 81.708942°
W127.886353°		 ← 88.08 m → N 81.708942°
W127.880860°		 →
↑
88.11 m
↓
↑
88.11 m
↓
N 81.708149°
W127.886353°		 ← 88.09 m →
7 761 m²		 N 81.708149°
W127.880860°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9487 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5394 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.144767761230469 y=0.0823135375976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.144767761230469 × 216)
    floor (0.144767761230469 × 65536)
    floor (9487.5)     		tx = 9487
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0823135375976562 × 216)
    floor (0.0823135375976562 × 65536)
    floor (5394.5)     		ty = 5394
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9487 / 5394 ti = "16/9487/5394"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9487/5394.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9487 ÷ 216
    9487 ÷ 65536     		x = 0.144760131835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5394 ÷ 216
    5394 ÷ 65536     		y = 0.082305908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.144760131835938 × 2 - 1) × π
    -0.710479736328125 × 3.1415926535     		Λ = -2.23203792
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.082305908203125 × 2 - 1) × π
    0.83538818359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.62444938039883
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.23203792} λ = -2.23203792}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.62444938039883))-π/2
    2×atan(13.7969752091993)-π/2
    2×1.49844319260775-π/2
    2.99688638521551-1.57079632675     		φ = 1.42609006
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.23203792} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.886353°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42609006 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.708942°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9487 KachelY 5394 -2.23203792 1.42609006 -127.886353 81.708942
    Oben rechts KachelX + 1 9488 KachelY 5394 -2.23194205 1.42609006 -127.880860 81.708942
    Unten links KachelX 9487 KachelY + 1 5395 -2.23203792 1.42607623 -127.886353 81.708149
    Unten rechts KachelX + 1 9488 KachelY + 1 5395 -2.23194205 1.42607623 -127.880860 81.708149
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42609006-1.42607623) × R
    1.38299999998814e-05 × 6371000     		dl = 88.1109299992446m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42609006-1.42607623) × R
    1.38299999998814e-05 × 6371000     		dr = 88.1109299992446m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.23203792--2.23194205) × cos(1.42609006) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.14420177274016 × 6371000     		do = 88.0766792020073m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.23203792--2.23194205) × cos(1.42607623) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.144215458179433 × 6371000     		du = 88.085038100942m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42609006)-sin(1.42607623))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.14420177274016-0.144215458179433)×R²
    abs(-2.23194205--2.23203792)×1.36854392726038e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.36854392726038e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.36854392726038e-05×40589641000000     		ar = 7760.88637096897m²