Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9486 / 7734
↖ ↑ ↗
← N 10.012130°
E 28.432617°		 ← 2 406.07 m → N 10.012130°
E 28.454590°		 →
↑
2 406.14 m
↓
↑
2 406.14 m
↓
N  9.990491°
E 28.432617°		 ← 2 406.23 m →
5 789 523 m²		 N  9.990491°
E 28.454590°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9486 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7734 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579010009765625 y=0.472076416015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579010009765625 × 214)
    floor (0.579010009765625 × 16384)
    floor (9486.5)     		tx = 9486
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.472076416015625 × 214)
    floor (0.472076416015625 × 16384)
    floor (7734.5)     		ty = 7734
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9486 / 7734 ti = "14/9486/7734"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9486/7734.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9486 ÷ 214
    9486 ÷ 16384     		x = 0.5789794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7734 ÷ 214
    7734 ÷ 16384     		y = 0.4720458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5789794921875 × 2 - 1) × π
    0.157958984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.49624278
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4720458984375 × 2 - 1) × π
    0.055908203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.175640800207886
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49624278} λ = 0.49624278}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.175640800207886))-π/2
    2×atan(1.19200981206554)-π/2
    2×0.872770476355847-π/2
    1.74554095271169-1.57079632675     		φ = 0.17474463
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49624278} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.432617°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.17474463 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.012130°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9486 KachelY 7734 0.49624278 0.17474463 28.432617 10.012130
    Oben rechts KachelX + 1 9487 KachelY 7734 0.49662628 0.17474463 28.454590 10.012130
    Unten links KachelX 9486 KachelY + 1 7735 0.49624278 0.17436696 28.432617 9.990491
    Unten rechts KachelX + 1 9487 KachelY + 1 7735 0.49662628 0.17436696 28.454590 9.990491
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.17474463-0.17436696) × R
    0.000377670000000024 × 6371000     		dl = 2406.13557000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.17474463-0.17436696) × R
    0.000377670000000024 × 6371000     		dr = 2406.13557000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49624278-0.49662628) × cos(0.17474463) × R
    0.000383499999999981 × 0.98477096879065 × 6371000     		do = 2406.06973547025m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49624278-0.49662628) × cos(0.17436696) × R
    0.000383499999999981 × 0.984836559003521 × 6371000     		du = 2406.22999062717m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.17474463)-sin(0.17436696))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98477096879065-0.984836559003521)×R²
    abs(0.49662628-0.49624278)×6.55902128710029e-05×R²
    0.000383499999999981×6.55902128710029e-05×6371000²
    0.000383499999999981×6.55902128710029e-05×40589641000000     		ar = 5789522.84104788m²