Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 9485 / 5362
↖ ↑ ↗
← N 81.734251°
W127.897339°		 ← 87.82 m → N 81.734251°
W127.891845°		 →
↑
87.79 m
↓
↑
87.79 m
↓
N 81.733461°
W127.897339°		 ← 87.83 m →
7 710 m²		 N 81.733461°
W127.891845°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9485 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5362 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.144737243652344 y=0.0818252563476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.144737243652344 × 216)
    floor (0.144737243652344 × 65536)
    floor (9485.5)     		tx = 9485
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0818252563476562 × 216)
    floor (0.0818252563476562 × 65536)
    floor (5362.5)     		ty = 5362
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9485 / 5362 ti = "16/9485/5362"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9485/5362.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9485 ÷ 216
    9485 ÷ 65536     		x = 0.144729614257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5362 ÷ 216
    5362 ÷ 65536     		y = 0.081817626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.144729614257812 × 2 - 1) × π
    -0.710540771484375 × 3.1415926535     		Λ = -2.23222967
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.081817626953125 × 2 - 1) × π
    0.83636474609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.62751734197452
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.23222967} λ = -2.23222967}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.62751734197452))-π/2
    2×atan(13.8393687966985)-π/2
    2×1.49866405991716-π/2
    2.99732811983432-1.57079632675     		φ = 1.42653179
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.23222967} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.897339°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42653179 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.734251°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9485 KachelY 5362 -2.23222967 1.42653179 -127.897339 81.734251
    Oben rechts KachelX + 1 9486 KachelY 5362 -2.23213379 1.42653179 -127.891845 81.734251
    Unten links KachelX 9485 KachelY + 1 5363 -2.23222967 1.42651801 -127.897339 81.733461
    Unten rechts KachelX + 1 9486 KachelY + 1 5363 -2.23213379 1.42651801 -127.891845 81.733461
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42653179-1.42651801) × R
    1.37800000001853e-05 × 6371000     		dl = 87.7923800011806m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42653179-1.42651801) × R
    1.37800000001853e-05 × 6371000     		dr = 87.7923800011806m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.23222967--2.23213379) × cos(1.42653179) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.143764645512713 × 6371000     		do = 87.8188464834654m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.23222967--2.23213379) × cos(1.42651801) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.143778282351143 × 6371000     		du = 87.827176566403m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42653179)-sin(1.42651801))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.143764645512713-0.143778282351143)×R²
    abs(-2.23213379--2.23222967)×1.36368384301699e-05×R²
    9.58800000003812e-05×1.36368384301699e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×1.36368384301699e-05×40589641000000     		ar = 7710.1912005769m²