Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9483 / 7169
↖ ↑ ↗
← N 21.922663°
E 28.366699°		 ← 2 266.54 m → N 21.922663°
E 28.388672°		 →
↑
2 266.74 m
↓
↑
2 266.74 m
↓
N 21.902278°
E 28.366699°		 ← 2 266.87 m →
5 138 026 m²		 N 21.902278°
E 28.388672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9483 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7169 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.578826904296875 y=0.437591552734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.578826904296875 × 214)
    floor (0.578826904296875 × 16384)
    floor (9483.5)     		tx = 9483
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437591552734375 × 214)
    floor (0.437591552734375 × 16384)
    floor (7169.5)     		ty = 7169
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9483 / 7169 ti = "14/9483/7169"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9483/7169.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9483 ÷ 214
    9483 ÷ 16384     		x = 0.57879638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7169 ÷ 214
    7169 ÷ 16384     		y = 0.43756103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57879638671875 × 2 - 1) × π
    0.1575927734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.49509230
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43756103515625 × 2 - 1) × π
    0.1248779296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.39231558649054
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49509230} λ = 0.49509230}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.39231558649054))-π/2
    2×atan(1.48040483345567)-π/2
    2×0.976709490296529-π/2
    1.95341898059306-1.57079632675     		φ = 0.38262265
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49509230} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.366699°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38262265 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.922663°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9483 KachelY 7169 0.49509230 0.38262265 28.366699 21.922663
    Oben rechts KachelX + 1 9484 KachelY 7169 0.49547579 0.38262265 28.388672 21.922663
    Unten links KachelX 9483 KachelY + 1 7170 0.49509230 0.38226686 28.366699 21.902278
    Unten rechts KachelX + 1 9484 KachelY + 1 7170 0.49547579 0.38226686 28.388672 21.902278
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38262265-0.38226686) × R
    0.000355790000000022 × 6371000     		dl = 2266.73809000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38262265-0.38226686) × R
    0.000355790000000022 × 6371000     		dr = 2266.73809000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49509230-0.49547579) × cos(0.38262265) × R
    0.000383490000000042 × 0.927688648310687 × 6371000     		do = 2266.54262606803m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49509230-0.49547579) × cos(0.38226686) × R
    0.000383490000000042 × 0.927821425479114 × 6371000     		du = 2266.8670292097m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38262265)-sin(0.38226686))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.927688648310687-0.927821425479114)×R²
    abs(0.49547579-0.49509230)×0.000132777168426301×R²
    0.000383490000000042×0.000132777168426301×6371000²
    0.000383490000000042×0.000132777168426301×40589641000000     		ar = 5138026.22579658m²