Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9476 / 5367
↖ ↑ ↗
← N 81.730302°
W127.946777°		 ← 87.85 m → N 81.730302°
W127.941284°		 →
↑
87.86 m
↓
↑
87.86 m
↓
N 81.729511°
W127.946777°		 ← 87.86 m →
7 719 m²		 N 81.729511°
W127.941284°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9476 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5367 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.144599914550781 y=0.0819015502929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.144599914550781 × 216)
    floor (0.144599914550781 × 65536)
    floor (9476.5)     		tx = 9476
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0819015502929688 × 216)
    floor (0.0819015502929688 × 65536)
    floor (5367.5)     		ty = 5367
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9476 / 5367 ti = "16/9476/5367"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9476/5367.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9476 ÷ 216
    9476 ÷ 65536     		x = 0.14459228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5367 ÷ 216
    5367 ÷ 65536     		y = 0.0818939208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.14459228515625 × 2 - 1) × π
    -0.7108154296875 × 3.1415926535     		Λ = -2.23309253
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0818939208984375 × 2 - 1) × π
    0.836212158203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.62703797297832
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.23309253} λ = -2.23309253}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.62703797297832))-π/2
    2×atan(13.8327362222226)-π/2
    2×1.49862959358642-π/2
    2.99725918717284-1.57079632675     		φ = 1.42646286
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.23309253} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.946777°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42646286 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.730302°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9476 KachelY 5367 -2.23309253 1.42646286 -127.946777 81.730302
    Oben rechts KachelX + 1 9477 KachelY 5367 -2.23299666 1.42646286 -127.941284 81.730302
    Unten links KachelX 9476 KachelY + 1 5368 -2.23309253 1.42644907 -127.946777 81.729511
    Unten rechts KachelX + 1 9477 KachelY + 1 5368 -2.23299666 1.42644907 -127.941284 81.729511
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42646286-1.42644907) × R
    1.37899999999025e-05 × 6371000     		dl = 87.8560899993788m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42646286-1.42644907) × R
    1.37899999999025e-05 × 6371000     		dr = 87.8560899993788m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.23309253--2.23299666) × cos(1.42646286) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.143832859119879 × 6371000     		do = 87.8513512745531m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.23309253--2.23299666) × cos(1.42644907) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.143846505717714 × 6371000     		du = 87.8596864496131m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42646286)-sin(1.42644907))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.143832859119879-0.143846505717714)×R²
    abs(-2.23299666--2.23309253)×1.36465978354816e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.36465978354816e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.36465978354816e-05×40589641000000     		ar = 7718.64237252106m²