Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9475 / 5377
↖ ↑ ↗
← N 81.722397°
W127.952271°		 ← 87.94 m → N 81.722397°
W127.946777°		 →
↑
87.98 m
↓
↑
87.98 m
↓
N 81.721606°
W127.952271°		 ← 87.95 m →
7 738 m²		 N 81.721606°
W127.946777°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9475 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5377 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.144584655761719 y=0.0820541381835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.144584655761719 × 216)
    floor (0.144584655761719 × 65536)
    floor (9475.5)     		tx = 9475
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0820541381835938 × 216)
    floor (0.0820541381835938 × 65536)
    floor (5377.5)     		ty = 5377
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9475 / 5377 ti = "16/9475/5377"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9475/5377.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9475 ÷ 216
    9475 ÷ 65536     		x = 0.144577026367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5377 ÷ 216
    5377 ÷ 65536     		y = 0.0820465087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.144577026367188 × 2 - 1) × π
    -0.710845947265625 × 3.1415926535     		Λ = -2.23318841
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0820465087890625 × 2 - 1) × π
    0.835906982421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.62607923498592
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.23318841} λ = -2.23318841}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.62607923498592))-π/2
    2×atan(13.8194806078135)-π/2
    2×1.49856061185483-π/2
    2.99712122370966-1.57079632675     		φ = 1.42632490
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.23318841} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.952271°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42632490 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.722397°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9475 KachelY 5377 -2.23318841 1.42632490 -127.952271 81.722397
    Oben rechts KachelX + 1 9476 KachelY 5377 -2.23309253 1.42632490 -127.946777 81.722397
    Unten links KachelX 9475 KachelY + 1 5378 -2.23318841 1.42631109 -127.952271 81.721606
    Unten rechts KachelX + 1 9476 KachelY + 1 5378 -2.23309253 1.42631109 -127.946777 81.721606
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42632490-1.42631109) × R
    1.3810000000003e-05 × 6371000     		dl = 87.983510000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42632490-1.42631109) × R
    1.3810000000003e-05 × 6371000     		dr = 87.983510000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.23318841--2.23309253) × cos(1.42632490) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.143969383241902 × 6371000     		do = 87.9439108279456m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.23318841--2.23309253) × cos(1.42631109) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.143983049357561 × 6371000     		du = 87.9522587949214m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42632490)-sin(1.42631109))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.143969383241902-0.143983049357561)×R²
    abs(-2.23309253--2.23318841)×1.3666115658395e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.3666115658395e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.3666115658395e-05×40589641000000     		ar = 7737.98119982217m²