Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9474 / 7961
↖ ↑ ↗
← N 79.407155°
W127.957764°		 ← 112.28 m → N 79.407155°
W127.952271°		 →
↑
112.26 m
↓
↑
112.26 m
↓
N 79.406146°
W127.957764°		 ← 112.29 m →
12 605 m²		 N 79.406146°
W127.952271°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9474 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7961 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.144569396972656 y=0.121482849121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.144569396972656 × 216)
    floor (0.144569396972656 × 65536)
    floor (9474.5)     		tx = 9474
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.121482849121094 × 216)
    floor (0.121482849121094 × 65536)
    floor (7961.5)     		ty = 7961
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9474 / 7961 ti = "16/9474/7961"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9474/7961.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9474 ÷ 216
    9474 ÷ 65536     		x = 0.144561767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7961 ÷ 216
    7961 ÷ 65536     		y = 0.121475219726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.144561767578125 × 2 - 1) × π
    -0.71087646484375 × 3.1415926535     		Λ = -2.23328428
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.121475219726562 × 2 - 1) × π
    0.757049560546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.37834133774947
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.23328428} λ = -2.23328428}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37834133774947))-π/2
    2×atan(10.7869960342268)-π/2
    2×1.47835631959752-π/2
    2.95671263919503-1.57079632675     		φ = 1.38591631
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.23328428} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.957764°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38591631 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.407155°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9474 KachelY 7961 -2.23328428 1.38591631 -127.957764 79.407155
    Oben rechts KachelX + 1 9475 KachelY 7961 -2.23318841 1.38591631 -127.952271 79.407155
    Unten links KachelX 9474 KachelY + 1 7962 -2.23328428 1.38589869 -127.957764 79.406146
    Unten rechts KachelX + 1 9475 KachelY + 1 7962 -2.23318841 1.38589869 -127.952271 79.406146
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38591631-1.38589869) × R
    1.76199999999405e-05 × 6371000     		dl = 112.257019999621m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38591631-1.38589869) × R
    1.76199999999405e-05 × 6371000     		dr = 112.257019999621m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.23328428--2.23318841) × cos(1.38591631) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.183828596362517 × 6371000     		do = 112.280258434489m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.23328428--2.23318841) × cos(1.38589869) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.183845916059473 × 6371000     		du = 112.29083709357m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38591631)-sin(1.38589869))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183828596362517-0.183845916059473)×R²
    abs(-2.23318841--2.23328428)×1.73196969564804e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.73196969564804e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.73196969564804e-05×40589641000000     		ar = 12604.8409812481m²