Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9474 / 5378
↖ ↑ ↗
← N 81.721606°
W127.957764°		 ← 87.94 m → N 81.721606°
W127.952271°		 →
↑
87.92 m
↓
↑
87.92 m
↓
N 81.720815°
W127.957764°		 ← 87.95 m →
7 732 m²		 N 81.720815°
W127.952271°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9474 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5378 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.144569396972656 y=0.0820693969726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.144569396972656 × 216)
    floor (0.144569396972656 × 65536)
    floor (9474.5)     		tx = 9474
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0820693969726562 × 216)
    floor (0.0820693969726562 × 65536)
    floor (5378.5)     		ty = 5378
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9474 / 5378 ti = "16/9474/5378"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9474/5378.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9474 ÷ 216
    9474 ÷ 65536     		x = 0.144561767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5378 ÷ 216
    5378 ÷ 65536     		y = 0.082061767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.144561767578125 × 2 - 1) × π
    -0.71087646484375 × 3.1415926535     		Λ = -2.23328428
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.082061767578125 × 2 - 1) × π
    0.83587646484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.62598336118668
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.23328428} λ = -2.23328428}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.62598336118668))-π/2
    2×atan(13.8181557452149)-π/2
    2×1.49855371008141-π/2
    2.99710742016283-1.57079632675     		φ = 1.42631109
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.23328428} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.957764°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42631109 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.721606°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9474 KachelY 5378 -2.23328428 1.42631109 -127.957764 81.721606
    Oben rechts KachelX + 1 9475 KachelY 5378 -2.23318841 1.42631109 -127.952271 81.721606
    Unten links KachelX 9474 KachelY + 1 5379 -2.23328428 1.42629729 -127.957764 81.720815
    Unten rechts KachelX + 1 9475 KachelY + 1 5379 -2.23318841 1.42629729 -127.952271 81.720815
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42631109-1.42629729) × R
    1.38000000000638e-05 × 6371000     		dl = 87.9198000004062m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42631109-1.42629729) × R
    1.38000000000638e-05 × 6371000     		dr = 87.9198000004062m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.23328428--2.23318841) × cos(1.42631109) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.143983049357561 × 6371000     		do = 87.9430856349026m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.23328428--2.23318841) × cos(1.42629729) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.143996705549978 × 6371000     		du = 87.9514266702156m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42631109)-sin(1.42629729))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.143983049357561-0.143996705549978)×R²
    abs(-2.23318841--2.23328428)×1.36561924169165e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.36561924169165e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.36561924169165e-05×40589641000000     		ar = 7732.30517143538m²