Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9474 / 5370
↖ ↑ ↗
← N 81.727931°
W127.957764°		 ← 87.88 m → N 81.727931°
W127.952271°		 →
↑
87.92 m
↓
↑
87.92 m
↓
N 81.727141°
W127.957764°		 ← 87.88 m →
7 726 m²		 N 81.727141°
W127.952271°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9474 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5370 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.144569396972656 y=0.0819473266601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.144569396972656 × 216)
    floor (0.144569396972656 × 65536)
    floor (9474.5)     		tx = 9474
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0819473266601562 × 216)
    floor (0.0819473266601562 × 65536)
    floor (5370.5)     		ty = 5370
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9474 / 5370 ti = "16/9474/5370"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9474/5370.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9474 ÷ 216
    9474 ÷ 65536     		x = 0.144561767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5370 ÷ 216
    5370 ÷ 65536     		y = 0.081939697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.144561767578125 × 2 - 1) × π
    -0.71087646484375 × 3.1415926535     		Λ = -2.23328428
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.081939697265625 × 2 - 1) × π
    0.83612060546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.6267503515806
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.23328428} λ = -2.23328428}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.6267503515806))-π/2
    2×atan(13.8287582034052)-π/2
    2×1.49860890593846-π/2
    2.99721781187692-1.57079632675     		φ = 1.42642149
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.23328428} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.957764°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42642149 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.727931°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9474 KachelY 5370 -2.23328428 1.42642149 -127.957764 81.727931
    Oben rechts KachelX + 1 9475 KachelY 5370 -2.23318841 1.42642149 -127.952271 81.727931
    Unten links KachelX 9474 KachelY + 1 5371 -2.23328428 1.42640769 -127.957764 81.727141
    Unten rechts KachelX + 1 9475 KachelY + 1 5371 -2.23318841 1.42640769 -127.952271 81.727141
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42642149-1.42640769) × R
    1.38000000000638e-05 × 6371000     		dl = 87.9198000004062m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42642149-1.42640769) × R
    1.38000000000638e-05 × 6371000     		dr = 87.9198000004062m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.23328428--2.23318841) × cos(1.42642149) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.14387379883132 × 6371000     		do = 87.8763567496084m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.23328428--2.23318841) × cos(1.42640769) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.143887455243025 × 6371000     		du = 87.88469791886m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42642149)-sin(1.42640769))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.14387379883132-0.143887455243025)×R²
    abs(-2.23318841--2.23328428)×1.3656411705143e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.3656411705143e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.3656411705143e-05×40589641000000     		ar = 7726.43838739336m²