Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9472 / 5888
↖ ↑ ↗
← N 81.308321°
W127.968750°		 ← 92.31 m → N 81.308321°
W127.963257°		 →
↑
92.32 m
↓
↑
92.32 m
↓
N 81.307491°
W127.968750°		 ← 92.32 m →
8 522 m²		 N 81.307491°
W127.963257°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9472 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5888 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.144538879394531 y=0.0898513793945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.144538879394531 × 216)
    floor (0.144538879394531 × 65536)
    floor (9472.5)     		tx = 9472
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0898513793945312 × 216)
    floor (0.0898513793945312 × 65536)
    floor (5888.5)     		ty = 5888
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9472 / 5888 ti = "16/9472/5888"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9472/5888.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9472 ÷ 216
    9472 ÷ 65536     		x = 0.14453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5888 ÷ 216
    5888 ÷ 65536     		y = 0.08984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.14453125 × 2 - 1) × π
    -0.7109375 × 3.1415926535     		Λ = -2.23347603
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08984375 × 2 - 1) × π
    0.8203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.57708772357422
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.23347603} λ = -2.23347603}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.57708772357422))-π/2
    2×atan(13.1587603558195)-π/2
    2×1.49494711788296-π/2
    2.98989423576593-1.57079632675     		φ = 1.41909791
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.23347603} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.968750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41909791 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.308321°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9472 KachelY 5888 -2.23347603 1.41909791 -127.968750 81.308321
    Oben rechts KachelX + 1 9473 KachelY 5888 -2.23338015 1.41909791 -127.963257 81.308321
    Unten links KachelX 9472 KachelY + 1 5889 -2.23347603 1.41908342 -127.968750 81.307491
    Unten rechts KachelX + 1 9473 KachelY + 1 5889 -2.23338015 1.41908342 -127.963257 81.307491
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41909791-1.41908342) × R
    1.44900000000892e-05 × 6371000     		dl = 92.315790000568m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41909791-1.41908342) × R
    1.44900000000892e-05 × 6371000     		dr = 92.315790000568m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.23347603--2.23338015) × cos(1.41909791) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.151117261535263 × 6371000     		do = 92.3102028623021m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.23347603--2.23338015) × cos(1.41908342) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.151131585113974 × 6371000     		du = 92.3189524415564m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41909791)-sin(1.41908342))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151117261535263-0.151131585113974)×R²
    abs(-2.23338015--2.23347603)×1.43235787106455e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.43235787106455e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.43235787106455e-05×40589641000000     		ar = 8522.09316461093m²