Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9472 / 5365
↖ ↑ ↗
← N 81.731882°
W127.968750°		 ← 87.84 m → N 81.731882°
W127.963257°		 →
↑
87.86 m
↓
↑
87.86 m
↓
N 81.731092°
W127.968750°		 ← 87.85 m →
7 718 m²		 N 81.731092°
W127.963257°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9472 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5365 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.144538879394531 y=0.0818710327148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.144538879394531 × 216)
    floor (0.144538879394531 × 65536)
    floor (9472.5)     		tx = 9472
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0818710327148438 × 216)
    floor (0.0818710327148438 × 65536)
    floor (5365.5)     		ty = 5365
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9472 / 5365 ti = "16/9472/5365"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9472/5365.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9472 ÷ 216
    9472 ÷ 65536     		x = 0.14453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5365 ÷ 216
    5365 ÷ 65536     		y = 0.0818634033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.14453125 × 2 - 1) × π
    -0.7109375 × 3.1415926535     		Λ = -2.23347603
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0818634033203125 × 2 - 1) × π
    0.836273193359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.6272297205768
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.23347603} λ = -2.23347603}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.6272297205768))-π/2
    2×atan(13.835388870485)-π/2
    2×1.49864338208079-π/2
    2.99728676416158-1.57079632675     		φ = 1.42649044
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.23347603} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.968750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42649044 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.731882°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9472 KachelY 5365 -2.23347603 1.42649044 -127.968750 81.731882
    Oben rechts KachelX + 1 9473 KachelY 5365 -2.23338015 1.42649044 -127.963257 81.731882
    Unten links KachelX 9472 KachelY + 1 5366 -2.23347603 1.42647665 -127.968750 81.731092
    Unten rechts KachelX + 1 9473 KachelY + 1 5366 -2.23338015 1.42647665 -127.963257 81.731092
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42649044-1.42647665) × R
    1.37900000001245e-05 × 6371000     		dl = 87.8560900007934m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42649044-1.42647665) × R
    1.37900000001245e-05 × 6371000     		dr = 87.8560900007934m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.23347603--2.23338015) × cos(1.42649044) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.143805565842155 × 6371000     		do = 87.8438427268601m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.23347603--2.23338015) × cos(1.42647665) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.143819212494692 × 6371000     		du = 87.8521788047592m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42649044)-sin(1.42647665))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.143805565842155-0.143819212494692)×R²
    abs(-2.23338015--2.23347603)×1.36466525368084e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.36466525368084e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.36466525368084e-05×40589641000000     		ar = 7717.9827405027m²