Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9470 / 5364
↖ ↑ ↗
← N 81.732671°
W127.979736°		 ← 87.83 m → N 81.732671°
W127.974243°		 →
↑
87.79 m
↓
↑
87.79 m
↓
N 81.731882°
W127.979736°		 ← 87.83 m →
7 711 m²		 N 81.731882°
W127.974243°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9470 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5364 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.144508361816406 y=0.0818557739257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.144508361816406 × 216)
    floor (0.144508361816406 × 65536)
    floor (9470.5)     		tx = 9470
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0818557739257812 × 216)
    floor (0.0818557739257812 × 65536)
    floor (5364.5)     		ty = 5364
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9470 / 5364 ti = "16/9470/5364"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9470/5364.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9470 ÷ 216
    9470 ÷ 65536     		x = 0.144500732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5364 ÷ 216
    5364 ÷ 65536     		y = 0.08184814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.144500732421875 × 2 - 1) × π
    -0.71099853515625 × 3.1415926535     		Λ = -2.23366777
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08184814453125 × 2 - 1) × π
    0.8363037109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.62732559437604
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.23366777} λ = -2.23366777}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.62732559437604))-π/2
    2×atan(13.836715385368)-π/2
    2×1.49865027534688-π/2
    2.99730055069376-1.57079632675     		φ = 1.42650422
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.23366777} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.979736°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42650422 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.732671°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9470 KachelY 5364 -2.23366777 1.42650422 -127.979736 81.732671
    Oben rechts KachelX + 1 9471 KachelY 5364 -2.23357190 1.42650422 -127.974243 81.732671
    Unten links KachelX 9470 KachelY + 1 5365 -2.23366777 1.42649044 -127.979736 81.731882
    Unten rechts KachelX + 1 9471 KachelY + 1 5365 -2.23357190 1.42649044 -127.974243 81.731882
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42650422-1.42649044) × R
    1.37799999999633e-05 × 6371000     		dl = 87.792379999766m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42650422-1.42649044) × R
    1.37799999999633e-05 × 6371000     		dr = 87.792379999766m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.23366777--2.23357190) × cos(1.42650422) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.143791929058351 × 6371000     		do = 87.8263516935464m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.23366777--2.23357190) × cos(1.42649044) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.143805565842155 × 6371000     		du = 87.8346808743159m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42650422)-sin(1.42649044))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.143791929058351-0.143805565842155)×R²
    abs(-2.23357190--2.23366777)×1.36367838038942e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.36367838038942e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.36367838038942e-05×40589641000000     		ar = 7710.85006139302m²