Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 947 / 878
↖ ↑ ↗
← N 24.846565°
W 13.535156°		 ← 17.737 km → N 24.846565°
W 13.359375°		 →
↑
17.748 km
↓
↑
17.748 km
↓
N 24.686952°
W 13.535156°		 ← 17.760 km →
314.997 km²		 N 24.686952°
W 13.359375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 947 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 878 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462646484375 y=0.428955078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462646484375 × 211)
    floor (0.462646484375 × 2048)
    floor (947.5)     		tx = 947
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428955078125 × 211)
    floor (0.428955078125 × 2048)
    floor (878.5)     		ty = 878
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 947 / 878 ti = "11/947/878"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/947/878.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 947 ÷ 211
    947 ÷ 2048     		x = 0.46240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 878 ÷ 211
    878 ÷ 2048     		y = 0.4287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46240234375 × 2 - 1) × π
    -0.0751953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23623304
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4287109375 × 2 - 1) × π
    0.142578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.447922390049805
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23623304} λ = -0.23623304}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.447922390049805))-π/2
    2×atan(1.56505722692656)-π/2
    2×1.00222534996082-π/2
    2.00445069992164-1.57079632675     		φ = 0.43365437
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23623304} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.535156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43365437 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.846565°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 947 KachelY 878 -0.23623304 0.43365437 -13.535156 24.846565
    Oben rechts KachelX + 1 948 KachelY 878 -0.23316508 0.43365437 -13.359375 24.846565
    Unten links KachelX 947 KachelY + 1 879 -0.23623304 0.43086860 -13.535156 24.686952
    Unten rechts KachelX + 1 948 KachelY + 1 879 -0.23316508 0.43086860 -13.359375 24.686952
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43365437-0.43086860) × R
    0.00278577000000002 × 6371000     		dl = 17748.1406700001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43365437-0.43086860) × R
    0.00278577000000002 × 6371000     		dr = 17748.1406700001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23623304--0.23316508) × cos(0.43365437) × R
    0.00306796000000001 × 0.907436283562814 × 6371000     		do = 17736.725242929m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23623304--0.23316508) × cos(0.43086860) × R
    0.00306796000000001 × 0.90860331284959 × 6371000     		du = 17759.5359660452m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43365437)-sin(0.43086860))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.907436283562814-0.90860331284959)×R²
    abs(-0.23316508--0.23623304)×0.00116702928677537×R²
    0.00306796000000001×0.00116702928677537×6371000²
    0.00306796000000001×0.00116702928677537×40589641000000     		ar = 314996522.309252m²