Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 947 / 419
↖ ↑ ↗
← N 72.235514°
W 13.535156°		 ← 5 963.58 m → N 72.235514°
W 13.359375°		 →
↑
5 972.30 m
↓
↑
5 972.30 m
↓
N 72.181803°
W 13.535156°		 ← 5 981.02 m →
35 668 381 m²		 N 72.181803°
W 13.359375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 947 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 419 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462646484375 y=0.204833984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462646484375 × 211)
    floor (0.462646484375 × 2048)
    floor (947.5)     		tx = 947
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.204833984375 × 211)
    floor (0.204833984375 × 2048)
    floor (419.5)     		ty = 419
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 947 / 419 ti = "11/947/419"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/947/419.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 947 ÷ 211
    947 ÷ 2048     		x = 0.46240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 419 ÷ 211
    419 ÷ 2048     		y = 0.20458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46240234375 × 2 - 1) × π
    -0.0751953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23623304
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20458984375 × 2 - 1) × π
    0.5908203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.85611675328857
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23623304} λ = -0.23623304}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.85611675328857))-π/2
    2×atan(6.39884018781053)-π/2
    2×1.41577193907977-π/2
    2.83154387815953-1.57079632675     		φ = 1.26074755
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23623304} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.535156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26074755 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.235514°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 947 KachelY 419 -0.23623304 1.26074755 -13.535156 72.235514
    Oben rechts KachelX + 1 948 KachelY 419 -0.23316508 1.26074755 -13.359375 72.235514
    Unten links KachelX 947 KachelY + 1 420 -0.23623304 1.25981013 -13.535156 72.181803
    Unten rechts KachelX + 1 948 KachelY + 1 420 -0.23316508 1.25981013 -13.359375 72.181803
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26074755-1.25981013) × R
    0.000937420000000078 × 6371000     		dl = 5972.30282000049m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26074755-1.25981013) × R
    0.000937420000000078 × 6371000     		dr = 5972.30282000049m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23623304--0.23316508) × cos(1.26074755) × R
    0.00306796000000001 × 0.305105087859742 × 6371000     		do = 5963.57585828598m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23623304--0.23316508) × cos(1.25981013) × R
    0.00306796000000001 × 0.305997676257917 × 6371000     		du = 5981.02236715963m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26074755)-sin(1.25981013))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.305105087859742-0.305997676257917)×R²
    abs(-0.23316508--0.23623304)×0.000892588398174465×R²
    0.00306796000000001×0.000892588398174465×6371000²
    0.00306796000000001×0.000892588398174465×40589641000000     		ar = 35668381.4447866m²