Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 947 / 417
↖ ↑ ↗
← N 72.342464°
W 13.535156°		 ← 5 928.82 m → N 72.342464°
W 13.359375°		 →
↑
5 937.45 m
↓
↑
5 937.45 m
↓
N 72.289067°
W 13.535156°		 ← 5 946.17 m →
35 253 617 m²		 N 72.289067°
W 13.359375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 947 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 417 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462646484375 y=0.203857421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462646484375 × 211)
    floor (0.462646484375 × 2048)
    floor (947.5)     		tx = 947
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.203857421875 × 211)
    floor (0.203857421875 × 2048)
    floor (417.5)     		ty = 417
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 947 / 417 ti = "11/947/417"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/947/417.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 947 ÷ 211
    947 ÷ 2048     		x = 0.46240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 417 ÷ 211
    417 ÷ 2048     		y = 0.20361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46240234375 × 2 - 1) × π
    -0.0751953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23623304
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20361328125 × 2 - 1) × π
    0.5927734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.86225267643994
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23623304} λ = -0.23623304}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.86225267643994))-π/2
    2×atan(6.43822368294644)-π/2
    2×1.4167052597003-π/2
    2.8334105194006-1.57079632675     		φ = 1.26261419
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23623304} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.535156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26261419 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.342464°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 947 KachelY 417 -0.23623304 1.26261419 -13.535156 72.342464
    Oben rechts KachelX + 1 948 KachelY 417 -0.23316508 1.26261419 -13.359375 72.342464
    Unten links KachelX 947 KachelY + 1 418 -0.23623304 1.26168224 -13.535156 72.289067
    Unten rechts KachelX + 1 948 KachelY + 1 418 -0.23316508 1.26168224 -13.359375 72.289067
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26261419-1.26168224) × R
    0.000931950000000015 × 6371000     		dl = 5937.45345000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26261419-1.26168224) × R
    0.000931950000000015 × 6371000     		dr = 5937.45345000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23623304--0.23316508) × cos(1.26261419) × R
    0.00306796000000001 × 0.303326921188956 × 6371000     		do = 5928.8198602648m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23623304--0.23316508) × cos(1.26168224) × R
    0.00306796000000001 × 0.304214831957139 × 6371000     		du = 5946.17494030817m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26261419)-sin(1.26168224))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.303326921188956-0.304214831957139)×R²
    abs(-0.23316508--0.23623304)×0.000887910768182953×R²
    0.00306796000000001×0.000887910768182953×6371000²
    0.00306796000000001×0.000887910768182953×40589641000000     		ar = 35253616.9752752m²