Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 9468 / 7685
↖ ↑ ↗
← N 11.070603°
E 28.037109°		 ← 2 397.81 m → N 11.070603°
E 28.059082°		 →
↑
2 397.85 m
↓
↑
2 397.85 m
↓
N 11.049038°
E 28.037109°		 ← 2 397.99 m →
5 749 814 m²		 N 11.049038°
E 28.059082°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9468 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7685 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.577911376953125 y=0.469085693359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.577911376953125 × 214)
    floor (0.577911376953125 × 16384)
    floor (9468.5)     		tx = 9468
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.469085693359375 × 214)
    floor (0.469085693359375 × 16384)
    floor (7685.5)     		ty = 7685
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9468 / 7685 ti = "14/9468/7685"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9468/7685.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9468 ÷ 214
    9468 ÷ 16384     		x = 0.577880859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7685 ÷ 214
    7685 ÷ 16384     		y = 0.46905517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.577880859375 × 2 - 1) × π
    0.15576171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.48933987
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46905517578125 × 2 - 1) × π
    0.0618896484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.194432064858948
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48933987} λ = 0.48933987}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.194432064858948))-π/2
    2×atan(1.21462096463557)-π/2
    2×0.882007398909617-π/2
    1.76401479781923-1.57079632675     		φ = 0.19321847
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48933987} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.037109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.19321847 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.070603°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9468 KachelY 7685 0.48933987 0.19321847 28.037109 11.070603
    Oben rechts KachelX + 1 9469 KachelY 7685 0.48972337 0.19321847 28.059082 11.070603
    Unten links KachelX 9468 KachelY + 1 7686 0.48933987 0.19284210 28.037109 11.049038
    Unten rechts KachelX + 1 9469 KachelY + 1 7686 0.48972337 0.19284210 28.059082 11.049038
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.19321847-0.19284210) × R
    0.000376370000000015 × 6371000     		dl = 2397.85327000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.19321847-0.19284210) × R
    0.000376370000000015 × 6371000     		dr = 2397.85327000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48933987-0.48972337) × cos(0.19321847) × R
    0.000383499999999981 × 0.981391313413767 × 6371000     		do = 2397.8122961505m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48933987-0.48972337) × cos(0.19284210) × R
    0.000383499999999981 × 0.98146351389162 × 6371000     		du = 2397.98870202573m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.19321847)-sin(0.19284210))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.981391313413767-0.98146351389162)×R²
    abs(0.48972337-0.48933987)×7.22004778530572e-05×R²
    0.000383499999999981×7.22004778530572e-05×6371000²
    0.000383499999999981×7.22004778530572e-05×40589641000000     		ar = 5749813.62074693m²