Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9466 / 5373
↖ ↑ ↗
← N 81.725560°
W128.001709°		 ← 87.90 m → N 81.725560°
W127.996216°		 →
↑
87.92 m
↓
↑
87.92 m
↓
N 81.724769°
W128.001709°		 ← 87.91 m →
7 729 m²		 N 81.724769°
W127.996216°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9466 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5373 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.144447326660156 y=0.0819931030273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.144447326660156 × 216)
    floor (0.144447326660156 × 65536)
    floor (9466.5)     		tx = 9466
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0819931030273438 × 216)
    floor (0.0819931030273438 × 65536)
    floor (5373.5)     		ty = 5373
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9466 / 5373 ti = "16/9466/5373"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9466/5373.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9466 ÷ 216
    9466 ÷ 65536     		x = 0.144439697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5373 ÷ 216
    5373 ÷ 65536     		y = 0.0819854736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.144439697265625 × 2 - 1) × π
    -0.71112060546875 × 3.1415926535     		Λ = -2.23405127
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0819854736328125 × 2 - 1) × π
    0.836029052734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.62646273018288
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.23405127} λ = -2.23405127}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.62646273018288))-π/2
    2×atan(13.8247813285865)-π/2
    2×1.49858821240136-π/2
    2.99717642480272-1.57079632675     		φ = 1.42638010
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.23405127} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -128.001709°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42638010 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.725560°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9466 KachelY 5373 -2.23405127 1.42638010 -128.001709 81.725560
    Oben rechts KachelX + 1 9467 KachelY 5373 -2.23395540 1.42638010 -127.996216 81.725560
    Unten links KachelX 9466 KachelY + 1 5374 -2.23405127 1.42636630 -128.001709 81.724769
    Unten rechts KachelX + 1 9467 KachelY + 1 5374 -2.23395540 1.42636630 -127.996216 81.724769
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42638010-1.42636630) × R
    1.38000000000638e-05 × 6371000     		dl = 87.9198000004062m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42638010-1.42636630) × R
    1.38000000000638e-05 × 6371000     		dr = 87.9198000004062m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.23405127--2.23395540) × cos(1.42638010) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.143914758088326 × 6371000     		do = 87.901374162856m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.23405127--2.23395540) × cos(1.42636630) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.143928414417837 × 6371000     		du = 87.9097152819047m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42638010)-sin(1.42636630))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.143914758088326-0.143928414417837)×R²
    abs(-2.23395540--2.23405127)×1.36563295114189e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.36563295114189e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.36563295114189e-05×40589641000000     		ar = 7728.63791119787m²