Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9464 / 5379
↖ ↑ ↗
← N 81.720815°
W128.012695°		 ← 87.96 m → N 81.720815°
W128.007202°		 →
↑
87.98 m
↓
↑
87.98 m
↓
N 81.720024°
W128.012695°		 ← 87.97 m →
7 739 m²		 N 81.720024°
W128.007202°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9464 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5379 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.144416809082031 y=0.0820846557617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.144416809082031 × 216)
    floor (0.144416809082031 × 65536)
    floor (9464.5)     		tx = 9464
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0820846557617188 × 216)
    floor (0.0820846557617188 × 65536)
    floor (5379.5)     		ty = 5379
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9464 / 5379 ti = "16/9464/5379"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9464/5379.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9464 ÷ 216
    9464 ÷ 65536     		x = 0.1444091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5379 ÷ 216
    5379 ÷ 65536     		y = 0.0820770263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1444091796875 × 2 - 1) × π
    -0.711181640625 × 3.1415926535     		Λ = -2.23424302
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0820770263671875 × 2 - 1) × π
    0.835845947265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.62588748738744
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.23424302} λ = -2.23424302}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.62588748738744))-π/2
    2×atan(13.8168310096298)-π/2
    2×1.49854680765316-π/2
    2.99709361530632-1.57079632675     		φ = 1.42629729
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.23424302} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -128.012695°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42629729 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.720815°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9464 KachelY 5379 -2.23424302 1.42629729 -128.012695 81.720815
    Oben rechts KachelX + 1 9465 KachelY 5379 -2.23414714 1.42629729 -128.007202 81.720815
    Unten links KachelX 9464 KachelY + 1 5380 -2.23424302 1.42628348 -128.012695 81.720024
    Unten rechts KachelX + 1 9465 KachelY + 1 5380 -2.23414714 1.42628348 -128.007202 81.720024
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42629729-1.42628348) × R
    1.3810000000003e-05 × 6371000     		dl = 87.983510000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42629729-1.42628348) × R
    1.3810000000003e-05 × 6371000     		dr = 87.983510000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.23424302--2.23414714) × cos(1.42629729) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.143996705549978 × 6371000     		do = 87.9606007002704m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.23424302--2.23414714) × cos(1.42628348) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.144010371610734 × 6371000     		du = 87.9689486337089m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42629729)-sin(1.42628348))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.143996705549978-0.144010371610734)×R²
    abs(-2.23414714--2.23424302)×1.36660607558958e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.36660607558958e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.36660607558958e-05×40589641000000     		ar = 7739.44963159875m²