Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 946 / 633
↖ ↑ ↗
← N 56.462490°
W 13.710937°		 ← 10.799 km → N 56.462490°
W 13.535156°		 →
↑
10.813 km
↓
↑
10.813 km
↓
N 56.365250°
W 13.710937°		 ← 10.826 km →
116.913 km²		 N 56.365250°
W 13.535156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 946 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 633 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462158203125 y=0.309326171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462158203125 × 211)
    floor (0.462158203125 × 2048)
    floor (946.5)     		tx = 946
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309326171875 × 211)
    floor (0.309326171875 × 2048)
    floor (633.5)     		ty = 633
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 946 / 633 ti = "11/946/633"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/946/633.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 946 ÷ 211
    946 ÷ 2048     		x = 0.4619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 633 ÷ 211
    633 ÷ 2048     		y = 0.30908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4619140625 × 2 - 1) × π
    -0.076171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23930100
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30908203125 × 2 - 1) × π
    0.3818359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.19957297609229
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23930100} λ = -0.23930100}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19957297609229))-π/2
    2×atan(3.31869945610174)-π/2
    2×1.2781263447979-π/2
    2.5562526895958-1.57079632675     		φ = 0.98545636
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23930100} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.710937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98545636 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.462490°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 946 KachelY 633 -0.23930100 0.98545636 -13.710937 56.462490
    Oben rechts KachelX + 1 947 KachelY 633 -0.23623304 0.98545636 -13.535156 56.462490
    Unten links KachelX 946 KachelY + 1 634 -0.23930100 0.98375920 -13.710937 56.365250
    Unten rechts KachelX + 1 947 KachelY + 1 634 -0.23623304 0.98375920 -13.535156 56.365250
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98545636-0.98375920) × R
    0.00169716000000009 × 6371000     		dl = 10812.6063600006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98545636-0.98375920) × R
    0.00169716000000009 × 6371000     		dr = 10812.6063600006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23930100--0.23623304) × cos(0.98545636) × R
    0.00306796000000001 × 0.552482784839583 × 6371000     		do = 10798.8136838366m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23930100--0.23623304) × cos(0.98375920) × R
    0.00306796000000001 × 0.553896612603209 × 6371000     		du = 10826.4483233573m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98545636)-sin(0.98375920))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.552482784839583-0.553896612603209)×R²
    abs(-0.23623304--0.23930100)×0.00141382776362531×R²
    0.00306796000000001×0.00141382776362531×6371000²
    0.00306796000000001×0.00141382776362531×40589641000000     		ar = 116912750.820318m²