Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 946 / 621
↖ ↑ ↗
← N 57.610107°
W 13.710937°		 ← 10.470 km → N 57.610107°
W 13.535156°		 →
↑
10.484 km
↓
↑
10.484 km
↓
N 57.515823°
W 13.710937°		 ← 10.497 km →
109.913 km²		 N 57.515823°
W 13.535156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 946 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 621 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462158203125 y=0.303466796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462158203125 × 211)
    floor (0.462158203125 × 2048)
    floor (946.5)     		tx = 946
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.303466796875 × 211)
    floor (0.303466796875 × 2048)
    floor (621.5)     		ty = 621
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 946 / 621 ti = "11/946/621"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/946/621.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 946 ÷ 211
    946 ÷ 2048     		x = 0.4619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 621 ÷ 211
    621 ÷ 2048     		y = 0.30322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4619140625 × 2 - 1) × π
    -0.076171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23930100
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30322265625 × 2 - 1) × π
    0.3935546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.23638851500049
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23930100} λ = -0.23930100}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23638851500049))-π/2
    2×atan(3.44315607694515)-π/2
    2×1.2881411883566-π/2
    2.5762823767132-1.57079632675     		φ = 1.00548605
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23930100} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.710937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00548605 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.610107°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 946 KachelY 621 -0.23930100 1.00548605 -13.710937 57.610107
    Oben rechts KachelX + 1 947 KachelY 621 -0.23623304 1.00548605 -13.535156 57.610107
    Unten links KachelX 946 KachelY + 1 622 -0.23930100 1.00384048 -13.710937 57.515823
    Unten rechts KachelX + 1 947 KachelY + 1 622 -0.23623304 1.00384048 -13.535156 57.515823
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00548605-1.00384048) × R
    0.00164556999999999 × 6371000     		dl = 10483.9264699999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00548605-1.00384048) × R
    0.00164556999999999 × 6371000     		dr = 10483.9264699999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23930100--0.23623304) × cos(1.00548605) × R
    0.00306796000000001 × 0.535677846478232 × 6371000     		do = 10470.3448096701m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23930100--0.23623304) × cos(1.00384048) × R
    0.00306796000000001 × 0.537066676792603 × 6371000     		du = 10497.4908497186m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00548605)-sin(1.00384048))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.535677846478232-0.537066676792603)×R²
    abs(-0.23623304--0.23930100)×0.00138883031437109×R²
    0.00306796000000001×0.00138883031437109×6371000²
    0.00306796000000001×0.00138883031437109×40589641000000     		ar = 109912648.446754m²