Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9457 / 7089
↖ ↑ ↗
← N 80.252461°
W128.051147°		 ← 103.41 m → N 80.252461°
W128.045654°		 →
↑
103.47 m
↓
↑
103.47 m
↓
N 80.251531°
W128.051147°		 ← 103.42 m →
10 700 m²		 N 80.251531°
W128.045654°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9457 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7089 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.144309997558594 y=0.108177185058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.144309997558594 × 216)
    floor (0.144309997558594 × 65536)
    floor (9457.5)     		tx = 9457
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.108177185058594 × 216)
    floor (0.108177185058594 × 65536)
    floor (7089.5)     		ty = 7089
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9457 / 7089 ti = "16/9457/7089"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9457/7089.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9457 ÷ 216
    9457 ÷ 65536     		x = 0.144302368164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7089 ÷ 216
    7089 ÷ 65536     		y = 0.108169555664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.144302368164062 × 2 - 1) × π
    -0.711395263671875 × 3.1415926535     		Λ = -2.23491413
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.108169555664062 × 2 - 1) × π
    0.783660888671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.46194329068684
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.23491413} λ = -2.23491413}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46194329068684))-π/2
    2×atan(11.7275795064613)-π/2
    2×1.48573300131843-π/2
    2.97146600263685-1.57079632675     		φ = 1.40066968
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.23491413} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -128.051147°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40066968 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.252461°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9457 KachelY 7089 -2.23491413 1.40066968 -128.051147 80.252461
    Oben rechts KachelX + 1 9458 KachelY 7089 -2.23481826 1.40066968 -128.045654 80.252461
    Unten links KachelX 9457 KachelY + 1 7090 -2.23491413 1.40065344 -128.051147 80.251531
    Unten rechts KachelX + 1 9458 KachelY + 1 7090 -2.23481826 1.40065344 -128.045654 80.251531
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40066968-1.40065344) × R
    1.62400000001117e-05 × 6371000     		dl = 103.465040000712m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40066968-1.40065344) × R
    1.62400000001117e-05 × 6371000     		dr = 103.465040000712m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.23491413--2.23481826) × cos(1.40066968) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.169307168861698 × 6371000     		do = 103.410748114048m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.23491413--2.23481826) × cos(1.40065344) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.169323174387892 × 6371000     		du = 103.4205240937m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40066968)-sin(1.40065344))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169307168861698-0.169323174387892)×R²
    abs(-2.23481826--2.23491413)×1.60055261945458e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.60055261945458e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.60055261945458e-05×40589641000000     		ar = 10699.9029261796m²